Ένας κοντινός συγγενής του αριθμού π=3,1415926… είναι ο αριθμός e=2,71828182…
Ενώ λοιπόν η ιστορία του αριθμού π είναι ευρέως διαδομένη, κυρίως γιατί πολλές έννοιες που σχετίζονται με το π γίνονται κατανοητές χωρίς τη γνώση προχωρημένων μαθηματικών, ο αριθμός e δεν είχε την ίδια καλή τύχη.
Ο αριθμός e είναι στενά συνδεδεμένος με τον απειροστικό λογισμό, που παραδοσιακά θεωρείται ως η «εισαγωγή» στα ανώτερα μαθηματικά. Όμως ο αριθμός e ήταν γνωστός στους μαθηματικούς τουλάχιστον μισό αιώνα πριν την επινόηση του απειροστικού λογισμού.
Πως συνέβη κάτι τέτοιο; Μια πιθανή εξήγηση είναι πως ο αριθμός e, όταν πρωτοεμφανίστηκε, είχε σχέση με τον τύπο του ανατοκισμού. Κάποιος – δεν γνωρίζουμε ποιος ή πότε – πρέπει να έκανε την σημαντική παρατήρηση ότι, αν ένα κεφάλαιο Ρ ανατοκιστεί n φορές το χρόνο για t χρόνια με ετήσιο επιτόκιο r, με το n να αυξάνει απεριόριστα, τότε το ποσό S των χρημάτων υπολογίζεται από τον τύπο S=P(1+ r/n)nt και φαίνεται να προσεγγίζει ένα συγκεκριμένο όριο, όπως θα δείξουμε στη συνέχεια. Το όριο αυτό, για Ρ=1, r=1. και t=1, είναι περίπου ίσο με 2,718.
Η συγκεκριμένη διαπίστωση – προϊόν περισσότερο πειραματικής παρατήρησης παρά αποτέλεσμα μιας αυστηρής μαθηματικής επαγωγής – πρέπει να αιφνιδίασε τους μαθηματικούς των αρχών του 17ου αιώνα, στους οποίους η έννοια του ορίου ήταν ακόμη άγνωστη.
Έτσι, η καταγωγή του αριθμού e και της εκθετικής συνάρτησης ex μπορεί να αναζητηθεί κάλλιστα στη βάση ενός πεζού προβλήματος: του τρόπου με τον οποίο αυξάνονται τα χρήματα με την πάροδο του χρόνου. Βέβαια υπάρχουν κι άλλα προβλήματα που οδηγούν στον ίδιο αριθμό, όπως για παράδειγμα το εμβαδόν που ορίζεται από την υπερβολή y=1/x και τον άξονα x.
O αριθμός e έγινε περισσότερο γνωστός ως βάση των φυσικών λογαρίθμων (logex ≡ lnx), όταν κατά το δεύτερο μισό του 18ου αιώνα το έργο του Euler χάρισε στην εκθετική συνάρτηση την σημαντική θέση που κατέχει στον απειροστικό λογισμό. Λέγεται πως το σύμβολο e διατηρήθηκε προς τιμήν του Euler.
Ανατοκισμός
Aς δούμε εν συντομία πως λειτουργεί ο ανατοκισμός και πως προκύπτει η σχέση του με τον αριθμό e. Έστω ότι καταθέτουμε κεφάλαιο Ρ ευρώ σε ένα λογαριασμό ο οποίος αποδίδει r% ετήσιο επιτόκιο με ανατοκισμό (στις πράξεις εκφράζουμε πάντα το r σε δεκαδική μορφή, για παράδειγμα 0,05 αντί για 5%). Τότε, στο τέλος του πρώτου χρόνου το ποσό μας θα γίνει ίσο με Ρ(1+r), στο τέλος του δεύτερου χρόνου Ρ(1+r)2, κ.ο.κ. , οπότε έπειτα από t χρόνια το ποσό θα γίνει ίσο με Ρ(1+r)t. Aν συμβολίσουμε το ποσό αυτό με S, καταλήγουμε στον τύπο:
S= Ρ(1+r)t
Ο συγκεκριμένος τύπος αποτελεί τη βάση ουσιαστικά όλων των οικονομικών υπολογισμών, είτε αυτοί εφαρμόζονται στους τραπεζικούς λογαριασμούς, τα δάνεια, τις υποθήκες ή τις επενδύσεις.
Ορισμένες τράπεζες υπολογίζουν του δεδουλευμένους τόκους όχι μια φορά αλλά αρκετές φορές ετησίως. Αν, για παράδειγμα, ένα ετήσιο επιτόκιο 5% υπολογίζεται ανατοκιζόμενο ανά εξάμηνο, η τράπεζα θα υπολογίσει το μισό του ετήσιου επιτοκίου ως το επιτόκιο περιόδου έξι μηνών. Έτσι, σε ένα χρόνο κεφάλαιο 100 ευρώ θα ανατοκιστεί δυο φορές, κάθε φορά με επιτόκιο 2,5%. Το ποσό που θα λάβουμε θα είναι τότε 100∙1,0252=105,0625, περίπου έξι λεπτά περισσότερα από το ποσό που θα απέδιδε το ίδιο κεφάλαιο αν ανατοκιζόταν ετησίως με 5%.
Στις τραπεζικές συναλλαγές μπορεί να συναντήσει κανείς πολλών ειδών προγράμματα ανατοκισμού – ετήσια, εξαμηνιαία, τριμηνιαία, εβδομαδιαία, ακόμη και ημερήσια. Έστω ότι ο ανατοκισμός γίνεται n φορές το χρόνο. Για κάθε «περίοδο μετατροπής» η τράπεζα θεωρεί ως ετήσιο επιτόκιο διαιρεμένο με το n, δηλαδή το r/n. Επειδή σε t χρόνια περιέχονται (nt) περίοδοι μετατροπής, ένα κεφάλαιο Ρ θα αποδώσει έπειτα από t χρόνια ποσό:
S=P(1+ r/n)nt [για n=1 προκύπτει η παραπάνω σχέση S= Ρ(1+r)t]
Αν θεωρήσουμε Ρ=1 ευρώ, επιτόκιο r=1(ετήσιο επιτόκιο 100% – καμία τράπεζα δεν θα έδινε μια τόσο γενναιόδωρη προσφορά) και t=1 χρόνος, τότε S=(1 + 1/n)n και καθώς αυξάνεται το n παίρνουμε τα εξής αποτελέσματα:
| n | S |
| 1 | 2 |
| 2 | 2,25 |
| 10 | 2,59374 |
| 50 | 2,69159 |
| 10.000 | 2,71815 |
| 10.000.000 | 2,71828 |
Δεν γνωρίζουμε ποιος παρατήρησε πρώτος την ιδιόμορφη αυτή συμπεριφορά της έκφρασης S=(1 + 1/n)n καθώς το n τείνει στο άπειρο, και έτσι παραμένει άγνωστη η ακριβής γενέθλια ημέρα του αριθμού ο οποίος αργότερα θα συμβολιστεί με e. Φαίνεται πάντως πιθανό πως έλκει την καταγωγή του στις αρχές του 17ου αιώνα, την εποχή περίπου που ο Napier επινόησε τους λογαρίθμους.
Η περίοδος εκείνη είχε χαρακτηρίστηκε από την τεράστια αύξηση του διεθνούς εμπορίου και την εξάπλωση των παντός είδους οικονομικών συναλλαγών. Το αποτέλεσμα ήταν να δοθεί τελικά μεγάλη προσοχή στον κανόνα του ανατοκισμού, και ίσως τότε για πρώτη φορά ο αριθμός e έτυχε γενικής αναγνώρισης. Ας σημειωθεί ότι πολλοί αποδίδουν την ανακάλυψη του αριθμού e στον Ελβετό μαθηματικό Γιακόμπ Μπερνούλι καθώς μελετούσε το παραπάνω πρόβλημα του ανατοκισμού.
πηγή: «e, η ιστορία ενός αριθμού», Εli Maor, εκδόσεις κάτοπτρο
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου
Το blog TEO O ΜΑΣΤΟΡΑΣ ουδεμία ευθύνη εκ του νόμου φέρει σχετικά σε άρθρα που αναδημοσιεύονται από διάφορα ιστολόγια. Δημοσιεύονται όλα για την δική σας ενημέρωση.