Η θερμοκρασία μιας μαύρης τρύπας

 

Στίβεν Χόκιγκ για όλους

Φέτος συμπληρώνεται μισός αιώνας από τότε που ο Stephen Hawking έκανε την μεγαλύτερη επιστημονική του ανακάλυψη το 1974, αποδεικνύοντας θεωρητικά πως οι μαύρες τρύπες δεν είναι τόσο μαύρες, αλλά συμπεριφέρονται σαν θερμά σώματα εκπέμποντας ακτινοβολία.

Ο Βρετανός θεωρητικός φυσικός Stephen Hawking (1942-2018), είναι γνωστός για τη συμβολή του στην κοσμολογία και τη φυσική των μαύρων τρυπών. Η μεγαλύτερη επιστημονική του ανακάλυψη ήταν η εξίσωση που έδειχνε ότι οι μαύρες τρύπες συμπεριφέρονται ως θερμά σώματα με απόλυτη θερμοκρασία που εξαρτάται αντιστρόφως ανάλογα από τη μάζα τους. Παρά το γεγονός ότι ο Χόκινγκ έπασχε από τη νόσο του κινητικού νευρώνα (αμυοτροφική πλευρική σκλήρυνση), που τον ανάγκασε σε εξ ολοκλήρου κινητική παράλυση και στην επικοινωνία μέσω ειδικής συσκευής παραγωγής ομιλίας, συνέχισε την ερευνα μέχρι το θάνατό του.

Συνδυάζοντας την γενική σχετικότητα, την κβαντομηχανική και την θερμοδυναμική ο Hawking απέδειξε ότι μια μαύρη τρύπα εκπέμπει προς όλες τις κατευθύνσεις ένα είδος θερμικής ακτινοβολίας, την επονομαζόμενη ακτινοβολία Hawking. Αυτή η ακτινοβολία έχει το φάσμα ενός μέλανος σώματος του οποίου η απόλυτη θερμοκρασία είναι αυτή που ονομάζουμε θερμοκρασία Hawking ή θερμοκρασία μαύρης τρύπας (Τ_ΒΗ). Αυτή η ανακάλυψη εκφράζεται με μια απλή και κομψή εξίσωση:

H παραπάνω εξίσωση περιέχει, εκτός από την μάζα της μαύρης τρύπας M_BH, μόνο θεμελιώδεις φυσικές σταθερές: την ταχύτητα του φωτός στο κενό c, την σταθερά του Planck ℏ, την σταθερά της παγκόσμιας έλξης G και την σταθερά του Boltzmann k_B. Παρατηρούμε ότι η θερμοκρασία μιας μαύρης τρύπας είναι αντιστρόφως ανάλογη με την μάζα της – όσο μικραίνει η μάζα της μαύρης τρύπας η θερμοκρασία της αυξάνεται. Το αποτέλεσμα είναι η μάζα να μειώνεται όλο και πιο γρήγορα και η μαύρη τρύπα να εξατμίζεται. Μπορούμε να «αποδείξουμε» την εξίσωση της θερμοκρασίας Hawking με τον τρόπο που περιγράφεται ΕΔΩ (Η θερμοκρασία Hawking, η αρχή της αβεβαιότητας και οι μαύρες τρύπες).

Ένας δεύτερος απλούστατος, και πιο διαφανής, τρόπος απόδειξης, είναι η χρήση του «μαγικού» εργαλείου της διαστατικής ανάλυσης, η εφαρμογή της οποίας απαιτεί ελάχιστη γνώση φυσικής και μαθηματικών.

Μαύρες τρύπες και η ανακάλυψη του Χόκινγκ
Οι μαύρες τρύπες είναι η πιο ακραία πρόβλεψη της γενικής σχετικότητας, τη θεωρία που προτάθηκε από τον Αϊνστάιν, αντικατέστησε τον νόμο της βαρύτητας του Νεύτωνα και άλλαξε θεμελιωδώς την αντίληψή μας για τον χώρο και τον χρόνο. Μια μαύρη τρύπα είναι μια περιοχή του χώρου όπου υπάρχει τόσο υψηλή συγκέντρωση ύλης που τίποτα δεν μπορεί να ξεφύγει από ισχυρή της βαρύτητα, ούτε καν το φως (διαβάστε σχετικά: Πέντε παρανοήσεις σχετικά με τις μαύρες τρύπες). Η απλούστερη μορφή μαύρης τρύπας, είναι η λεγόμενη στατική μαύρη τρύπα, της οποίας η μαθηματική περιγραφή εξαρτάται μόνο από τη μάζα της. Η εξίσωση (1) ισχύει για αυτά τα αντικείμενα, τα οποία εξετάζουμε στη συνέχεια.

Σχήμα1: Η δομή μιας στατικής μαύρης τρύπας

Το παραπάνω σχήμα δείχνει την διαισθητική αναπαράσταση μιας στατικής μαύρης τρύπας. Η μάζα αυτού του αντικειμένου συγκεντρώνεται σε μια σημειακή περιοχή που ονομάζεται ιδιομορφία (singularity), που βρίσκεται στο κέντρο του ορίζοντα γεγονότων, ή απλά ορίζοντα, που είναι μια σφαιρική επιφάνεια που ορίζει το εξωτερικό όριο της μαύρης τρύπας. Αν και ο ορίζοντας δεν έχει υλική ύπαρξη, μπορεί να θεωρηθεί ως μια επιφάνεια μονής κατεύθυνσης που επιτρέπει την ύλη ή την ενέργεια να ρέει μόνο προς τα μέσα.

Η ακτίνα του ορίζοντα, ονομάζεται ακτίνα βαρύτητας (γνωστή και ως ακτίνα Schwarzschild) και ισούται με:
όπου G σταθερά της παγκόσμιας έλξης, c είναι η ταχύτητα του φωτός και M_BH η μάζα της μαύρης τρύπας, δηλαδή η μάζα που περιορίζεται στην ιδιομορφία. Δεδομένου ότι τίποτα δεν μπορεί να διασχίσει τον ορίζοντα προς τα έξω, αυτή η περιοχή φαίνεται εντελώς μαύρη. Εφόσον η περιγραφή που βασίζεται στην γενική θεωρία της σχετικότητας είναι σωστή, βλέπουμε ότι οι νόμοι της θερμοδυναμικής εξασφαλίζουν ότι η θερμοκρασία του ορίζοντα πρέπει να είναι αυστηρά μηδέν. Διαφορετικά, η μαύρη τρύπα θα εξέπεμπε θερμική ακτινοβολία και δεν θα ήταν μαύρη.

Σε γενικές γραμμές, αυτό είναι το κλασικό παράδειγμα μαύρης τρύπας που προκύπτει από τη γενική σχετικότητα. Μέχρι το 1974 κανείς δεν αμφισβήτησε αυτό το παράδειγμα. Ωστόσο, ο Χόκινγκ τόλμησε να το αμφισβητήσει, αποδεικνύοντας ότι «οι μαύρες τρύπες δεν είναι τόσο μαύρες». Συγκεκριμένα, ο Hawking απέδειξε ότι ο ορίζοντας συμπεριφέρεται ως ένα θερμό σώμα με απόλυτη θερμοκρασία T_H, την θερμοκρασία Hawking , η οποία είναι ανάλογη με τη βαρύτητα στον ορίζοντα.

 

Σχήμα 2: Oι μαύρες τρύπες εκπέμπουν θερμική ακτινοβολία, έχουν εντροπία, και σταδιακά εξατμίζονται.

Κατά συνέπεια, ο ορίζοντας εκπέμπει θερμική ακτινοβολία προς όλες τις κατευθύνσεις, την λεγόμενη ακτινοβολία Hawking. Σύμφωνα με την ισοδυναμία μάζας-ενέργειας του Αϊνστάιν, η ενέργεια που εκπέμπεται από τη μαύρη τρύπα οδηγεί σε σταδιακή μείωση των M_BH και του R_S μέσω μιας διαδικασίας που ονομάζεται εξάτμιση (μαύρης τρύπας). Επιπλέον, από τους νόμους της θερμοδυναμικής, προκύπτει ότι μια μαύρη τρύπα έχει εντροπία, η οποία αποδεικνύεται ότι είναι ανάλογη με το εμβαδόν του ορίζοντα. Από την εξ. (2), η περιοχή αυτή υπολογίζεται ως: .
Για να καταλήξει σε αυτά τα συμπεράσματα, ο Hawking συνδύασε (εν μέρει) τη γενική σχετικότητα, η οποία περιγράφει το σύμπαν σε μακροσκοπικό επίπεδο, με την κβαντική μηχανική, που περιγράφει το σύμπαν σε μικροσκοπικό επίπεδο, και την θερμοδυναμική, η οποία περιγράφει τα θερμικά φαινόμενα. O πίνακας που ακολουθεί δείχνει τις θεμελιώδεις φυσικές σταθερές που χαρακτηρίζουν αυτές τις θεωρίες, οι οποίες θα είναι πολύ χρήσιμες κατά την εξαγωγή της θερμοκρασίας Hawking, χρησιμοποιώντας διαστατική ανάλυση.

Πίνακας 1: Θεωρίες και φυσικές σταθερές που εμπλέκονται στην θερμοκρασία Hawking

Πίνακας 2: Μάζα (Μ) σε kg, Mήκος (L) σε m), Χρόνος (Τ) σε sec, Θερμοκρασία (Θ) σε Κ

Yπολογισμός της θερμοκρασίας Hawking
Όλη η φυσική που χρειαζόμαστε για την διαστατική εξαγωγή της θερμοκρασίας Hawking συνοψίζεται στους πίνακες 1 και 2, και στην ιδέα ότι η περιγραφή μιας στατικής μαύρης τρύπας εξαρτάται μόνο από τη μάζα της. Θα ξεκινήσουμε υποθέτοντας ότι δεν γνωρίζουμε την εξίσωση Hawking. Προφανώς, η άγνοιά μας για το θέμα δεν μπορεί να είναι πλήρης: στην πραγματικότητα, για να πραγματοποιηθεί ένας υπολογισσμός βασισμένος στην διαστατική ανάλυση, είναι πάντα απαραίτητο να ξεκινάμε με μια υπόθεση σχετικά με τις εμπλεκόμενες παραμέτρους διαστάσεων (μεταβλητές και φυσικές σταθερές)

Για να διατυπώσουμε την υπόθεσή μας, πρέπει να έχουμε στο μυαλό μας ότι το μεγάλο επίτευγμα του Χόκινγκ ήταν να συνδυάσει τη γενική σχετικότητα με την κβαντική μηχανική και τη θερμοδυναμική για να αποδείξει ότι μια στατική μαύρη τρύπα έχει απόλυτη θερμοκρασία T_H. Όπως φαίνεται στον πίνακα 1, αυτό υποδηλώνει ότι η T_H πρέπει να εξαρτάται από τις χαρακτηριστικές σταθερές αυτών των τριών θεωριών, G, c, ℏ, k_Β. Από την άλλη, γνωρίζουμε επίσης ότι μια στατική μαύρη τρύπα χαρακτηρίζεται πλήρως από τη μάζα της, M_BH.

Μπορούμε λοιπόν να υποθέσουμε ότι η θερμοκρασία της μαύρης τρύπας υπολογίζεται από μια εξίσωση της μορφής:

Aν στην παραπάνω σχέση αντικαταστήσουμε τις μονάδες των μεγεθών, τότε για να έχει το δεύτερο μέλος ίδια μονάδα μέτρησης με το πρώτο μέλος, θα πρέπει να ικανοποιούνται οι εξισώσεις:
-x₁+x₃+x₄+x₅=0, 3x₁+x₂+2x₃+2x₄=0, x₄=-1 και 2x₁+x₂+x₃+2x₄=0
Βέβαια, έχουμε έναν άγνωστο παραπάνω από τις εξισώσεις. Μπορούμε όμως να θεωρήσουμε το x₅ ως παράμετρο και να υπολογίσουμε τους υπόλοιπους αγνώστους συναρτήσει του x₅. Στη συνέχεια μπορούμε να δίνουμε τιμές στο x₅ και να παίρνουμε διάφορες εξισώσεις για την θερμοκρασία Τ_ΒΗ. Για παράδειγμα:
● αν θεωρήσουμε x₅=0, παίρνουμε , στην οποία δεν περιέχεται η σταθερά του Planck και η μάζα της μαύρης τρύπας,
● αν θεωρήσουμε x₅=1, παίρνουμε , όπου δεν περιέχεται η σταθερά της παγκόσμιας έλξης και η σταθερά του Planck,
● αν θεωρήσουμε x₅=-1, παίρνουμε: , η οποία βλέπουμε ότι ταυτίζεται με την ζητούμενη εξίσωση (1), αν εξαιρέσουμε τον αριθμητικό παράγοντα 8π στον παρονομαστή, κ.ο.κ.

Πώς όμως μπορούμε να επιλέξουμε την σωστή έκφραση από τις διάφορες εξισώσεις που προκύπτουν με τον τρόπο αυτό. Ένα κριτήριο είναι ότι στην σωστή σχέση, αφενός μεν πρέπει να περιέχονται όλες οι σταθερές που υποθέσαμε ότι πρέπει να εξαρτάται η θερμοκρασία Τ_ΒΗ, και αφετέρου η σταθερά G και η μάζα Μ_ΒΗ, να υψώνονται στην ίδια δύναμη, δηλαδή x₁=x₅, δεδομένου ότι το γινόμενο (GM)^x προκύπτει συχνά σε προβλήματα όπου εμφανίζεται η βαρύτητα. Όπως συμβαίνει και στην περίπτωσή μας. Με αυτόν τον περιορισμό μειώνεται και ο αριθμός των αγνώστων στο σύστημα των εξισώσεων και προκύπτει τελικά ένας και μοναδικός συνδυασμός για την θερμοκρασία της μαύρης τρύπας: .

Οι μεγάλες ανακαλύψεις της φυσικής εκφράζονται μέσω εξισώσεων που περιγράφουν με ακρίβεια ένα ευρύ φάσμα φαινομένων. Ορισμένες εξισώσεις ξεχωρίζουν για την απλότητά τους, άλλες για την κομψότητά τους και άλλες για την ικανότητά τους να χτίζουν γέφυρες μεταξύ φαινομενικά ανόμοιων τομέων της πραγματικότητας. Ωστόσο, υπάρχουν εξισώσεις που διαθέτουν όλες αυτές τις αρετές. Για παράδειγμα, ο νόμος της βαρύτητας του Νεύτωνα (F=Gm₁m₂/r²) εμπίπτει σε αυτή την κατηγορία, καθώς συμφιλιώνει την ουράνια φυσική με τη γήινη φυσική, όπως και η ισοδυναμία μάζας-ενέργειας του Αϊνστάιν (E=mc²), η οποία ενοποιεί την ύλη και την ενέργεια. Σε αυτή την κατηγορία εμπίπτει και η εξίσωση Hawking, καθώς γεφυρώνει την σχετικότητα, την κβαντική μηχανική και την θερμοδυναμική.

 

Η εξίσωση Hawking είναι χαραγμένη στον τάφο του στο Αβαείο του Γουέστμινστερ:

διαβάστε περισσότερες λεπτομέρειες στο άρθρο του Jorge Pinochet με τίτλο: «Hawking for everyone: Commemorating half a century of an unfinished scientific revolution» – https://arxiv.org/abs/2410.11851

https://physicsgg.me/2024/10/20/%ce%b7-%ce%b8%ce%b5%cf%81%ce%bc%ce%bf%ce%ba%cf%81%ce%b1%cf%83%ce%af%ce%b1-%ce%bc%ce%b9%ce%b1%cf%82-%ce%bc%ce%b1%cf%8d%cf%81%ce%b7%cf%82-%cf%84%cf%81%cf%8d%cf%80%ce%b1%cf%82/