Οι φανταστικοί αριθμοί στην Φυσική

 

Ποιά είναι η λύση της εξίσωσης x²=−1; Εκ πρώτης όψεως φαίνεται αδύνατη, αφού το τετράγωνο ενός πραγματικού αριθμού δεν μπορεί να είναι αρνητικό. Όμως οι εξισώσεις που δεν έχουν λύσεις εκνευρίζουν τους μαθηματικούς. Γι αυτό επινόησαν μια νέα κατηγορία αριθμών.

Ο Leonhard Euler εισήγαγε τον αριθμό i, έτσι ώστε i²=−1, δημιουργώντας τo νέο σύνολο αριθμών, τους φανταστικούς αριθμούς. Τώρα η εξίσωση x²=−1, έχει λύσεις x==±i. Οι φανταστικοί αριθμοί όταν πολλαπλασιάζονται με τον εαυτό τους δίνουν αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς π.χ. (3i)(3i)=−9. Όταν συνδυάζονται με τους πραγματικούς αριθμούς σχηματίζουν τους μιγαδικούς αριθμούς, π.χ. -2+3i.

Χρειάζονται οι φανταστικοί (ή οι μιγαδικοί) αριθμοί στην φυσική;

Οι φυσικοί σε αντίθεση με τους μαθηματικούς, είναι πιο προσγειωμένοι, αφού εκείνο που τους ενδιαφέρει είναι να περιγράψουν τον πραγματικό κόσμο. Καμία μετρητική συσκευή δεν δίνει ως αποτέλεσμα φανταστικούς ή μιγαδικούς αριθμούς. Οι πραγματικοί αριθμοί αρκούν για να ποσοτικοποιήσουν την πραγματικότητα.

Όμως αν ξεφυλλίσει κανείς βιβλία κυματικής ή ηλεκτρομαγνητισμού θα διαπιστώσει ότι χρησιμοποιούνται μιγαδικοί αριθμοί και μιγαδικές συναρτήσεις. Για παράδειγμα, στην κλασική κυματική εξίσωση, , χρησιμοποιούμε ως λύση την μιγαδική συνάρτηση . Αυτό δεν σημαίνει ότι περιγράφουμε την πραγματικότητα με φανταστικούς αριθμούς, απλά αυτό γίνεται μόνο για λόγους ευκολίας, αφού τα εκθετικά είναι πιο εύχρηστα από τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Στο τέλος κρατάμε μόνο το πραγματικό μέρος της λύσης, που κι αυτό από μόνο του είναι λύση της κλασικής κυματικής εξίσωσης. Παρόμοια μαθηματική άνεση προκύπτει όταν περιγράφουμε την εμπέδηση ενός κυκλώματος ως μιγαδικό αριθμό π.χ. . Και πάλι δεν σημαίνει ότι η εμπέδηση του κυκλώματος είναι μιγαδικός αριθμός. Αυτή προκύπτει από το μέτρο του μιγαδικού αριθμού, που δίνεται από την εξίσωση: . Υπάρχουν κι άλλα παρόμοια παραδείγματα, στα οποία οι μιγαδικοί αριθμοί αποτελούν απλά ένα βολικό μαθηματικό εργαλείο στα χέρια των φυσικών, χωρίς όμως να εκφράζουν κάποια θεμελιώδη φυσική οντότητα.

Oι φανταστικοί αριθμοί στην Κβαντομηχανική

Όμως τα πράγματα διαφέρουν στην κβαντική φυσική, η οποία περιγράφει τον μικρόκοσμο των ατόμων και των στοιχειωδών σωματιδίων. Εκεί οι μιγαδικοί αριθμοί δεν υπεισέρχονται για να απλοποιήσουν τις μαθηματικές πράξεις, αλλά τους επιβάλλει η φυσική πραγματικότητα. Κεντρικός πυλώνας της είναι η κυματική εξίσωση Schrödinger, η οποία στην απλούστερη μορφή της σε μια διάσταση για ένα σωματίδιο μάζας m που κινείται μέσα σε δυναμικό V(x) γράφεται ως:

Η εξίσωση αυτή εκφράζει έναν νόμο της φύσης και δεν αποδεικνύεται, αλλά επιβεβαιώνεται καθημερινα μέσα από τις παρατηρήσεις μας (το ίδιο ισχύει για παράδειγμα και για την θεμελιώδη εξίσωση της κλασικής δυναμικής ). Το ζητούμενο από την εξίσωση Schrödinger είναι η κυματοσυνάρτηση ψ(x,t). Επειδή στο πρώτο μέλος της εξίσωσης εμφανίζεται ο φανταστικός αριθμός i, η ψ(x,t) πρέπει να είναι αναγκαστικά είναι μιγαδική, διαφορετικά δεν θα ίσχυε η ισότητα.

Η ίδια η ψ(x,t), ως μιγαδική συνάρτηση, δεν μπορεί να περιγράψει την μετρήσιμη πραγματικότητα – δεν παριστάνει κάποιο φυσικό κύμα ή μια μετρήσημη φυσική διαταραχή. Όμως η εν λόγω μιγαδική συνάρτηση δεν υπεισέρχεται στην κβαντομηχανική για να διευκολύνει τις μαθηματικές πράξεις, όπως γίνεται στην κλασική κυματική εξίσωση η οποία επιδέχεται και καθαρά πραγματικές λύσεις, αλλά αποτελεί αναγκαστική επιλογή.

Τι εκφράζει λοιπόν η ψ(x,t); Σύμφωνα με την στατιστική (ή πιθανοκρατική) ερμηνεία που διατύπωσε ο Max Born το 1926, το τετράγωνο της απόλυτης τιμής της κυματοσυνάρτησης, |ψ(x,t)|², εκφράζει την πυκνότητα πιθανότητας να βρεθεί το σωματίδιο στην γειτονιά του σημείου x την χρονική στιγμή t. Το γεγονός ότι μεγάλα ονόματα της φυσικής, όπως ο Einstein ή και ο ίδιος ο Erwin Schrödinger, δυσφορούσαν με την ερμηνεία αυτή, επομένως και με το ότι η ψ(x,t) είναι μιγαδική συνάρτηση δεν αποτελεί επιστημονικό επιχείρημα εναντίον της μιγαδικότητας της ψ(x,t).

Υπάρχουν και σήμερα φυσικοί που θεωρούν ότι στην κβαντική θεωρία οι μιγαδικοί αριθμοί δεν είναι απαραίτητοι, αλλά απλά είναι βολικοί, όπως συμβαίνει στον ηλεκτρομαγνητισμό ή στα κλασικά κύματα. Το σίγουρο είναι ότι δεν βρήκαν κάποιον εναλλακτικό τρόπο, μια ‘εξίσωση Schrödinger’ χωρίς φανταστικούς αριθμούς και μιγαδικές συναρτήσεις που να περιγράφει με ακρίβεια την πραγματικότητα. Εφόσον δεν διαθέτουν συγκεκριμένο τρόπο περιγραφής της φύσης, δεν αξίζει να ασχοληθεί κανείς περισσότερο με τις θεωρίες τους.

Πάντως, οι Marc-Olivier Renou et al στο πρόσφατο άρθρο τους με τίτλο ‘Quantum theory based on real numbers can be experimentally falsified‘, περιγράφουν πειράματα, σύμφωνα με τα οποία είναι αδύνατον να εξοριστούν οι φανταστικοί αριθμοί από την κβαντική θεωρία. Όποιος ενδιαφέρεται μπορεί να διαβάσει περισσότερα στα εκλαϊκευμένα άρθρα: 1. ‘Imaginary numbers could be needed to describe reality, new studies find‘ και 2. ‘Imaginary Numbers May Be Essential for Describing Reality‘

 

https://physicsgg.me/2021/12/22/%ce%bf%ce%b9-%cf%86%ce%b1%ce%bd%cf%84%ce%b1%cf%83%cf%84%ce%b9%ce%ba%ce%bf%ce%af-%ce%b1%cf%81%ce%b9%ce%b8%ce%bc%ce%bf%ce%af-%cf%83%cf%84%ce%b7%ce%bd-%cf%86%cf%85%cf%83%ce%b9%ce%ba%ce%ae/