Teo O Μάστορας: Πού μηδενίζεται το μαγνητικό πεδίο των ρευματοφόρων αγωγών;

Κυριακή 13 Ιουνίου 2021

Πού μηδενίζεται το μαγνητικό πεδίο των ρευματοφόρων αγωγών;

Απο το physicsgg

Τρεις ευθύγραμμοι παράλληλοι αγωγοί απείρου μήκους διαρρέονται από ομόρροπα ρεύματα ίδιας έντασης Ι. Οι αγωγοί βρίσκονται στις θέσεις x=-1, x=+2, και x=+3 του άξονα χ. Ψάχνουμε να βρούμε σε ποιά σημεία μηδενίζεται η ένταση του μαγνητικού πεδίου που δημιουργούν οι τρεις αγωγοί. Tα σημεία αυτά (αν υπάρχουν) προφανώς θα βρίσκονται στον άξονα χ

Οι τρεις αγωγοί που βρίσκονται στις θέσεις x=-1, x=+2, και x=+3 του άξονα χ, είναι κάθετοι στο επίπεδο της οθόνης και η φορά των ρευμάτων τους είναι προς τα έξω

Απαντώντας το πρόβλημα κατά τα γνωστά, υποθέτουμε ότι σε κάποια θέση x=; η συνολική ένταση του μαγνητικού πεδίου ισούται με μηδέν. Σημειώνουμε εκεί τις εντάσεις των μαγνητικών πεδίων χρησιμοποιώντας τον κανόνα του δεξιού χεριού μας:

Θα ισχύει: $\vec{B}_{1}+ \vec{B}_{2}+ \vec{B}_{3}=0 \Rightarrow k_{\mu}\frac{2I}{x+1}= k_{\mu}\frac{2I}{2-x} + k_{\mu}\frac{2I}{3-x}$ ή $(2-x)(3-x)= (3-x)(x+1)+(2-x)(x+1)$ και μετά από μερικές πράξεις καταλήγουμε στην δευτεροβάθμια εξίσωση:

$3x^{2}-8x+1=0 \, \, \, \, (1)$

απ’ όπου προκύπτει ότι στις θέσεις $x_{1} \cong 2,53$ και $x_{2} \cong 0,13$ , η ένταση του μαγνητικού πεδίου είναι μηδέν.

Ένα παρατηρητικό μάτι βλέπει την εξής «σύμπτωση»: Θεωρούμε το πολυώνυμο που έχει ρίζες ρ₁=-1, ρ₂=2, και ρ₃=+3 , τις θέσεις στον άξονα χ των τριών ρευματοφόρων αγωγών

$P(x)=(x+1)(x-2)(x-3)= x^{3}-4x^{2}+x+6$

Η παράγωγος του πολυωνύμου είναι $P'(x)=3x^{2}-8x+1$ . Τα σημεία στα οποία μηδενίζεται η παράγωγος του πολυωνύμου η ένταση του μαγνητικού πεδίου είναι μηδέν! (σύμφωνα με την εξίσωση 1).

Πρόκειται για σατανική σύμπτωση ή το συμπέρασμα ισχύει και γενικότερα;

Τι εννοούμε όταν λέμε γενικότερα;

Αν έχουμε n παράλληλους αγωγούς που διαρρέονται από ομόρροπα ρεύματα Ι, κάθετους στο επίπεδο χψ στις θέσεις x=ρ₁ , ρ₂ , … , ρ_n του άξονα χ τότε τα σημεία στα οποία μηδενίζεται η ένταση του μαγνητικού πεδίου είναι τα σημεία στα οποία μηδενίζεται η πρώτη παράγωγος του πολυωνύμου

$P(x)=(x-\rho_{1})(x-\rho_{2}) ... (x-\rho_{n})$

Kαι πιο γενικότερα: Αν έχουμε n παράλληλους αγωγούς που διαρρέονται από ομόρροπα ρεύματα Ι, κάθετους στο (μιγαδικό) επίπεδο χψ στις θέσεις z=α₁ , α₂ , … ,α_n, τότε τα σημεία του επιπέδου στα οποία η ένταση του μαγνητικού πεδίου ισούται με μηδέν είναι τα σημεία στα οποία μηδενίζεται η πρώτη παράγωγος του μιγαδικού πολυωνύμου:

$P(z)=(z-a_{1})(z-z_{2}) ... (z-a_{n})$

(…)

Aς εξετάσουμε ένα σχεδόν ταυτόσημο πρόβλημα. Στην θέση των n παράλληλων ρευματοφόρων αγωγών τοποθετούμε μονοδιάστατες ευθύγραμμες κατανομές ηλεκτρικού φορτίου (απείρου μήκους) με γραμμική πυκνότητα φορτίου λ. Στην απλούστερη περίπτωση που είναι κάθετες στο επίπεδο χψ στις θέσεις x=ρ₁ , ρ₂ , … , ρ_n του άξονα χ, η συνολική ένταση του ηλεκτρικού πεδίου που δημιουργούν οι κατανομές σε κάποιο σημείο του άξονα χ υπολογίζεται από την σχέση:

$\vec{E}= \sum \vec{E}_{i}(x)= \sum \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_{0} (x -\rho_{i}) }\hat{x}$

Η μόνη διαφορά με το αντίστοιχο πρόβλημα των ρευματοφόρων αγωγών είναι μια πολλαπλασιαστική σταθερά και το ότι η φορά της έντασης του μαγνητικού πεδίου είναι κάθετη στην ένταση του ηλεκτρικού πεδίου:

$\vec{B}= \sum \vec{B}_{i}(x)= \sum \frac{k_{\mu} 2 I}{(x -\rho_{i})} \hat{y}$

Επομένως, ότι συμπεράσματα εξάγονται για το ηλεκτρικό πεδίο, «αν στραφούν κατά 90^ο πάνω στο επίπεδο χψ», ισχύουν και για το μαγνητικό πεδίο! Μας βολεύει η ανάλυση να γίνει με το ηλεκτρικό πεδίο εξαιτίας της έννοιας του δυναμικού. ΄Έτσι, τo αντίστοιχο δυναμικό του ηλεκτρικού πεδίου στη θέση x υπολογίζεται από την εξίσωση:

$V(x)= \sum V_{i}(x)= - \frac{ \lambda}{2 \pi \epsilon_{0}} \sum \ln |x -\rho_{i}| +C$

όπου C μια αυθαίρετη σταθερά.

Αν πάμε αντίστροφα, μπορούμε να υπολογίσουμε την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου από την σχέση: $\vec{E}=- \nabla V \Rightarrow \vec{E} = \frac{\partial \sum V_{i}(x)}{\partial x} \hat{x}$ και συνεχίζοντας με το μέτρο της,

$E = - \frac{ \lambda}{2 \pi \epsilon_{0}} \frac{\partial}{\partial x} \sum \ln |x -\rho_{i}| = - \frac{ \lambda}{2 \pi \epsilon_{0}} \frac{\partial}{\partial x} \ln |(x -\rho_{1})(x -\rho_{2}) ... (x -\rho_{n})| \Rightarrow$

$E= - \frac{ \lambda}{2 \pi \epsilon_{0}} ( \ln |P(x)|)' = - \frac{ \lambda |P'(x)| }{2 \pi \epsilon_{0} | P(x)|}$

Επομένως, η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου (άρα και του μαγνητικού πεδίου στο αντίστοιχο πρόβλημα) μηδενίζεται στα σημεία όπου Ρ'(x)=0.

Yπενθυμίζεται ότι το πολυώνυμο P(x)=(x-ρ₁)(x-ρ₂)…(x-ρ_n) προκύπτει απλά από τις θέσεις x=ρ₁ , ρ₂ , … , ρ_n των κατανομών (ή ρευμάτων) στον άξονα χ. Παρόμοια είναι η ανάλυση όταν οι παράλληλες ευθύγραμμες κατανομές φορτίου (ή οι ρευματοφόροι αγωγοί), είναι κάθετοι σε διάφορα σημεία του επίπεδου χψ.

https://physicsgg.me/2021/06/02/%cf%80%ce%bf%cf%8d-%ce%bc%ce%b7%ce%b4%ce%b5%ce%bd%ce%af%ce%b6%ce%b5%cf%84%ce%b1%ce%b9-%cf%84%ce%bf-%ce%bc%ce%b1%ce%b3%ce%bd%ce%b7%cf%84%ce%b9%ce%ba%cf%8c-%cf%80%ce%b5%ce%b4%ce%af%ce%bf-%cf%84%cf%89/

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

Το blog TEO O ΜΑΣΤΟΡΑΣ ουδεμία ευθύνη εκ του νόμου φέρει σχετικά σε άρθρα που αναδημοσιεύονται από διάφορα ιστολόγια. Δημοσιεύονται όλα για την δική σας ενημέρωση.

Σελίδες

Κυριακή 13 Ιουνίου 2021

Πού μηδενίζεται το μαγνητικό πεδίο των ρευματοφόρων αγωγών;

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου