Σε πόσο χρόνο θα κατέρρεε βαρυτικά ο Ήλιος…

… αν ξαφνικά σταματούσαν οι πυρηνικές αντιδράσεις στο εσωτερικό του;

Ένα άστρο – όπως ο Ήλιος μας – διατηρεί σχεδόν σταθερά τα χαρακτηριστικά του, όπως η μάζα, η ακτίνα, η λαμπρότητα και η χημική σύσταση της εξωτερικής του επιφάνειας.

Αυτή η σταθερότητα των άστρων μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι στο εσωτερικό τους επικρατεί περίπου μια κατάσταση ισορροπίας.
Οι πυρηνικές αντιδράσεις σύντηξης που πραγματοποιούνται στο εσωτερικό τους δημιουργούν μια «κόλαση» παραγωγής ενέργειας και ακτινοβολίας, η πίεση των οποίων εξισορροπούν την βαρύτητα που θα οδηγούσε το άστρο σε κατάρρευση.

Αν λοιπόν δεν γίνονταν οι πυρηνικές αντιδράσεις στο εσωτερικό του Ήλιου, τότε σε πόσο χρόνο θα κατέρρεε βαρυτικά;

Μια προσεγγιστική απάντηση στο ερώτημα αυτό βρίσκει κανείς ΕΔΩ (στη σελ. 94)

και η εξίσωση που υπολογίζει τον χρόνο της «ελεύθερης πτώσης» όταν δεν υπάρχει η πίεση που «στηρίζει» το άστρο είναι

 



όπου ρ0 η πυκνότητα του Ήλιου (ή κάποιου άλλου παρόμοιου άστρου) λίγο πριν αρχίσει η κατάρρευση – σύμφωνα με την υπόθεση.

Θέτοντας στην παραπάνω εξίσωση την πυκνότητα του Ήλιου ρ0=1.4 g/cm3 και την τιμή της σταθεράς της παγκόσμιας έλξης παίρνουμε ότι η κατάρρευση του Ήλιου θα γίνει σε κάτι λιγότερο από 7 λεπτά της ώρας – αφότου πάψουν να πραγματοποιούνται οι πυρηνικές αντιδράσεις σύντηξης.

Για να προκύψει η παραπάνω εξίσωση γίνονται αρκετές προσεγγίσεις και πολλές πράξεις … που όμως μπορούμε να αποφύγουμε αν χρησιμοποιήσουμε διαστατική ανάλυση, δηλαδή να σκεφτούμε ως εξής:

Ο χρόνος της βαρυτικής κατάρρευσης του άστρου θα εξαρτάται από την μάζα του άστρου Μ, την αρχική του ακτίνα r0 και από την σταθερά της παγκόσμιας έλξης G – εφόσον δεχόμαστε ότι το φαινόμενο καθοδηγείται μόνον από την βαρύτητα:


t ~ r0x My Gz

Aντικαθιστώντας τις μονάδες μέτρησης στην παραπάνω σχέση προκύπτει η ισότητα:


s = (mx) (kgy) (kg-zm3zs-2z)

οπότε

z = -1/2 = x και y = 3/2

Έτσι



Αν εκφράσουμε την μάζα συναρτήσει της πυκνότητας


Μ = 4/3 πr3 ρ0

παίρνουμε






Συγκρίνοντας τις εξισώσεις (1) και (3) βλέπουμε μεν ότι διαφέρουν κατά έναν παράγοντα 4 – η τάξη μεγέθους όμως του χρόνου που υπολογίζουν είναι η ίδια.

Πηγή:
http://physicsgg.me/2011/11/28/%CF%83%CE%B5-%CF%80%CF%8C%CF%83%CE%BF-%CF%87%CF%81%CF%8C%CE%BD%CE%BF-%CE%B8%CE%B1-%CE%BA%CE%B1%CF%84%CE%AD%CF%81%CF%81%CE%B5%CE%B5-%CE%B2%CE%B1%CF%81%CF%85%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AC-%CE%BF-%CE%AE%CE%BB/