Σάββατο 14 Ιανουαρίου 2017

To φως ως συνέπεια των εξισώσεων Maxwell


Θεωρώντας ως δεδομένες τις εξισώσεις Maxwell:


\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_{0}} \, \, \, \, \bf{(1)}
\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0 \, \, \, \, \, \, \bf{(2)}
\vec{\nabla} \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \, \, \, \, \, \bf{(3)}
\vec{\nabla} \times \vec{B} = \mu_{0} \vec{j} + \epsilon_{0} \mu_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \, \, \, \, \, \bf{(4)}

θα απαλείψουμε από την εξίσωση (3) το μαγνητικό πεδίο και το ηλεκτρικό πεδίο από την εξίσωση (4).

Θεωρούμε τον στροβιλισμό και των δυο μελών της εξίσωσης (3):
\vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{E}) = - \frac{\partial}{\partial t}(\vec{\nabla} \times \vec{B})

Στην παραπάνω εξίσωση το \vec{\nabla} \times \vec{B} μπορεί να αντικατασταθεί από το δεύτερο μέλος της εξίσωσης (4), και δεδομένου ότι ισχύει \vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{E}) = \vec{\nabla} (\vec{\nabla} \cdot \vec{E}) - \nabla^{2}\vec{E}
θα έχουμε:
\vec{\nabla} (\vec{\nabla} \cdot \vec{E}) - \nabla^{2}\vec{E} = - \frac{\partial}{\partial t}(\mu_{0} \vec{j} + \epsilon_{0} \mu_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t})

Xρησιμοποιώντας την πρώτη εξίσωση Maxwell και αναδιατάσσοντας τους όρους παίρνουμε:
\nabla^{2}\vec{E} - \epsilon_{0} \mu_{0} \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}} = \frac{1}{\epsilon_{0}} \vec{\nabla} \rho + \mu_{0}\frac{\partial\vec{j} }{\partial t} \, \, \, \, \bf{(5)}

Mε παρόμοιο τρόπο προκύπτει εύκολα και η αντίστοιχη εξίσωση για το μαγνητικό πεδίο:
\nabla^{2}\vec{B} - \epsilon_{0} \mu_{0} \frac{\partial^{2} \vec{B}}{\partial t^{2}} = - \mu_{0} \vec{\nabla} \times \vec{j} \, \, \, \, \bf{(6)}

Οι εξισώσεις (5) και (6) αποτελούν μορφές της μη ομογενούς κυματικής εξίσωσης :
\nabla^{2}y - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} = f(\vec{r}, t)

Έτσι, το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο ικανοποιούν τις κυματικές εξισώσεις, το δεύτερο μέλος των οποίων αντιπροσωπεύει τις πηγές του κάθε πεδίου (πυκνότητες φορτίων και ηλεκτρικών ρευμάτων), ενώ η αντίστοιχη ταχύτητα διάδοσης θα είναι:

c= \frac{1}{\sqrt{\epsilon_{0} \mu_{0}}} \cong 3 \times 10^{8} \, \, m/s

που δεν είναι τίποτε άλλο παρά η ταχύτητα διάδοσης του φωτός στο κενό..

Αν και δεν αρκεί μόνο αυτό το επιχείρημα – το γεγονός ότι η ταχύτητα του φωτός ταυτίζεται με την ταχύτητα διάδοσης του ηλεκτρομαγνητικού κύματος ήταν μια από τις ισχυρότερες ενδείξεις ότι το φως πράγματι είναι ηλεκτρομαγνητικό κύμα.

Στην περίπτωση που στον κενό χώρο δεν υπάρχουν πηγές των πεδίων (φορτία και ρεύματα) τότε οι εξισώσεις (5) και (6) παίρνουν τις απλούστερες μορφές που περιέχονται στην παρακάτω εικόνα:

em_wave002


https://physicsgg.me/2014/01/06/to-%cf%86%cf%89%cf%82-%cf%89%cf%82-%cf%83%cf%85%ce%bd%ce%ad%cf%80%ce%b5%ce%b9%ce%b1-%cf%84%cf%89%ce%bd-%ce%b5%ce%be%ce%b9%cf%83%cf%8e%cf%83%ce%b5%cf%89%ce%bd-maxwell/
Posted by at
Labels: , , ,

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

Το blog TEO O ΜΑΣΤΟΡΑΣ ουδεμία ευθύνη εκ του νόμου φέρει σχετικά σε άρθρα που αναδημοσιεύονται από διάφορα ιστολόγια. Δημοσιεύονται όλα για την δική σας ενημέρωση.

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)