Η παράλογη αποτελεσματικότητα των Μαθηματικών στην Φυσική

απόσπασμα από το βιβλίο του Γιώργου Λ. Ευαγγελόπουλου, «Μαθηματικά: Θεωρητική ή πρακτική επιστήμη, εντέλει;» (εκδόσεις ΕΥΡΑΣΙΑ)

(…) Πρέπει να τονιστεί ότι συμβαίνει (…) το πολύ σύνηθες φαινόμενο να μην υπάρχουν τα μαθηματικά εργαλεία προκειμένου να αντιμετωπιστεί ένα δύσκολο μαθηματικό πρόβλημα της Φυσικής. Κι όταν τελικώς επινοηθούν κι αναπτυχθούν τα μαθηματικά εργαλεία και επιλυθεί το μαθηματικό πρόβλημα, ενδέχεται να αποδειχθεί ότι η μαθηματική λύση που βρέθηκε έχει απροσδόκητη σημασία για την ερμηνεία ή τον πειραματικό-παρατηρησιακό έλεγχο κάποιου φυσικού φαινομένου που μέχρι τότε δεν φαινόταν να συνδέεται με αυτή τη λύση.

Τέτοιο παράδειγμα είναι η απόδειξη της καθολικής μη γραμμικής ευστάθειας του χώρου Μινκόφσκι από τους Δημήτρη Χριστοδούλου και Sergiu Klainerman, δηλαδή η επίλυση ενός από τα πιο δύσκολα μαθηματικά προβλήματα της Γενικής Σχετικότητας [Demetrios Christodoulou & Sergiu Klainerman, The Global Nonlinear Stability of the Minkowski Space].

Όπως υποστήριξε ο Χριστοδούλου σε αδημοσίευτη ομιλία του στο Φυσικό Τμήμα του Πανεπιστημίου της Κρήτης που έχει τίτλο, «Φυσική και Μαθηματικά – Μια προσωπική εμπειρία», πρόκειται για το πρώτο του έργο γεωμετρικής ανάλυσης υπερβολικών διαφορικών εξισώσεων. Είναι μια μονογραφία 500 σελίδων και αποτέλεσε σταθμό στη σταδιοδρομία και των δυο μαθηματικών, καθώς υπήρξε αποτέλεσμα εντατικής προσπάθειας της περιόδου 1984-1991. Στο έργο αυτό ο Χριστοδούλου και ο Klainerman απέδειξαν την ευστάθεια του επίπεδου χωροχρόνου της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας στο πλαίσιο της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας. Επίσης, έδωσαν μια λεπτομερή περιγραφή της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς των λύσεων.

Το εξαιρετικό επίτευγμα των Χριστοδούλου και Klainerman είχε όμως ένα αναπάντεχο αποτέλεσμα, μια απροσδόκητη «εφαρμογή» στη Φυσική. Συγκεκριμένα, γνωρίζουμε ότι μια αρχική διαταραχή στο υφάδι του χωροχρόνου διαδίδεται – όπως η διαταραχή σε μια ήσυχη λίμνη που προκαλείται από το ρίξιμο μια πέτρας – με κύματα, τα βαρυτικά κύματα εν προκειμένω.

Όμως, όπως απέδειξε ο Χριστοδούλου σε μια νέα, μόλις τετρασέλιδη, εργασία, του 1991, με τίτλο «Η Μη Γραμμική Φύση της Βαρύτητας και τα Πειράματα Βαρυτικών Κυμάτων» [Demetrios Christodoulou, “ Nonlinear nature of gravitation and gravitational-wave experiments”, Phys. Rev. Lett. 67, 1486 (1991)], υπάρχει μια λεπτή διαφορά σε σχέση με το παράδειγμα της λίμνης. Γιατί, μολονότι ο χωροχρόνος γίνεται ξανά, όπως η λίμνη, επίπεδος, μετά την παρέλευση των κυμάτων, ο τελικός επίπεδος χωροχρόνος σχετίζεται κατά μη τετριμμένο τρόπο – το τονίζω – με τον αρχικό επίπεδο χωρόχρονο, και τούτο οδηγεί σε ένα παρατηρήσιμο φαινόμενο, τη μόνιμη – προσέξτε, τονίζω τη λέξη «μόνιμη» – μετατόπιση των πειραματικών μαζών ενός ανιχνευτού βαρυτικών κυμάτων. Το φαινόμενο αυτό που ο Χριστοδούλου ονόμασε «φαινόμενο μνήμης», και αναφέρεται στη διεθνή βιβλιογραφία ως «Christodoulou memory effect», είναι μη γραμμικό, εφόσον απουσιάζει στη γραμμικοποιημένη θεωρία. Επιπλέον, ο Χριστοδούλου έδειξε ότι στην περίπτωση όπου τα βαρυτικά κύματα προέρχονται από ένα πολλαπλό σύστημα ουρανίων σωμάτων, που αποτελεί την περίπτωση που έχει ενδιαφέρον από πλευράς Φυσικής, αυτή η καθαρά μη γραμμική μόνιμη μετατόπιση των πειραματικών μαζών είναι της ίδιας τάξης μεγέθους με τη μέγιστη στιγμιαία μετατόπιση, ασχέτως με το πόσο σχετικιστικό είναι το ουράνιο σύστημα.

Στο «φαινόμενο μνήμης» ο Χριστοδούλου οδηγήθηκε ως εξής: Είχε προηγουμένως ανακαλύψει ένα γεωμετρικό αναλλοίωτο που έχει να κάνει με την ασυμπτωτική συμπεριφορά φυλλώσεων από χαρακτηριστικές υπερεπιφάνειες. Δεν γνώριζε, όμως, όπως αναφέρει ο ίδιος ο Χριστοδούλου στην προαναφερθείσα ομιλία του στην Κρήτη, τη φυσική σημασία αυτού του γεωμετρικού αναλλοίωτου.

Παραθέτω επακριβώς τα λόγια του: «Εκείνη την εποχή ήμουν καθηγητής στο Ινστιτούτο Κουράντ του πανεπιστημίου της Νέας Υόρκης αλλά έμενα σε μια περιοχή της πολιτείας Νιου Τζέρσεϋ, κοντά στα εργαστήρια Μπελλ. Επομένως, τις καθημερινές πηγαινοερχόμουν με το τραίνο στην δουλειά μου. ‘Ένα βράδυ, λοιπόν, επιστρέφοντας από τη Νέα Υόρκη, διάβαζα στο τραίνο ένα ενημερωτικό περιοδικό του Εθνικού Ιδρύματος Ερευνών των Ηνωμένων Πολιτειών. Στο περιοδικό αυτό περιγράφονταν οι δυσκολίες που παρουσιάζει η ανίχνευση των κυμάτων βαρύτητας. Στην περιγραφή αναφερόταν ότι, σε κάθε περίοδο περιφοράς ενός διπλού αστέρος, αντιστοιχεί μια διπλή ταλάντωση των πειραματικών μαζών γύρω από τις αρχικές τους θέσεις. Επομένως, στο άρθρο υποστηριζόταν ότι, με την συμπλήρωση κάθε ταλάντωσης, οι μάζες επανέρχονται στις αρχικές τους θέσεις. Τούτο μου φάνηκε ότι έρχεται σε αντίφαση με το γεωμετρικό αναλλοίωτο το οποίο ήδη γνώριζα. Επιστρέφοντας στο σπίτι εκείνο το βράδυ, έβαλα κάτω τις εξισώσεις κινήσεως πειραματικών μαζών σε έναν χωροχρόνο με τις ασυμπτωτικές ιδιότητες που γνώριζα και βρήκα ότι το γεωμετρικό αναλλοίωτο αντιστοιχεί σε μόνιμη μετατόπιση των πειραματικών μαζών.

Από καθαρά μαθηματικής πλευράς, τώρα, αξίζει να τονιστεί με έμφαση ότι οι μαθηματικές μέθοδοι του έργου επί της ευστάθειας του χωροχρόνου Μινκόφσκι διαφέρουν ριζικά από εκείνες όλων των προηγούμενων εργασιών στον τομέα των υπερβολικών εξισώσεων. Εν προκειμένω, όλες οι προηγούμενες εργασίες στις εξισώσεις Αϊνστάιν εξέταζαν τις εξισώσεις σε ένα σύστημα συντεταγμένων όπου ανάγονται σε ένα σύστημα μη γραμμικών κυματικών εξισώσεων, και προσπαθούσαν να εκτιμήσουν τις συνιστώσες της μετρικής σε αυτές τις συντεταγμένες. Στο εν λόγω έργο, αντιθέτως, η προσέγγιση είχε να κάνει με γεωμετρικές εκτιμήσεις της καμπυλότητος. Σε αυτές τις εκτιμήσεις, οι νόρμες ορίζονται από ένα σύνολο προσανατολισμένων προς το μέλλον χρονοειδών ανυσματικών πεδίων, τα «πεδία πολλαπλασιαστές», καθώς και από ένα άλλο σύνολο ανυσματικών πεδίων, τα «πεδία μεταθέτες», ως προς τα οποία λαμβάνονται οι παράγωγοι Lie. Τα δυο σύνολα ανυσματικών πεδίων κατασκευάζονται με βάση την αιτιακή δομή του χωροχρόνου, όπως αυτή εκδηλώνεται στη γεωμετρία μιας φυλλώσεως από χαρακτηριστικές υπερεπιφάνειες. Το εν λόγω έργο αποτελεί την πρώτη μελέτη τέτοιων φυλλώσεων εν σχέσει με τις εξισώσεις Αϊνστάιν».

Μόλις σας περιέγραψα, αναπόφευκτα με κάπως τεχνικό τρόπο -και ζητώ συγγνώμη γι’ αυτό-, το πώς από την απόδειξη της μη γραμμικής ευστάθειας του χώρου Μινκόφσκι, o Χριστοδούλου οδηγήθηκε στη διατύπωση του «φαινομένου μνήμης» που φέρει το όνομά του και αφορά στη μη γραμμική φύση των βαρυτικών κυμάτων. Πρόκειται για ένα καταπληκτικό παράδειγμα της κατά Ευγένιο Βίγκνερ «παράλογης αποτελεσματικότητας των Μαθηματικών» όσον αφορά την περιγραφή ενός φυσικού φαινομένου. Μάλιστα ο Kip Thorne ανέλαβε να εξηγήσει στους φυσικούς, με μελέτη που δημοσίευσε στο Physical Review D [Kip S. Thorne, «Gravitational-wave bursts with memory: The Christodoulou effect«, Phys. Rev. D 45, 520 (1992)], την προαναφερθείσα μαθηματικά «πυκνή» και δύσκολη εργασία που έγραψε ο Χριστοδούλου, το 1991, για τη μη γραμμική φύση της βαρύτητας και τα πειράματα βαρυτικών κυμάτων. [Βλ. Demetrios Christodoulou, “Nonlinear nature of gravitation and gravitational-wave experiments”, Phys. Rev. Lett. 67, 1486 (1991)] και κάποιες δημοσιέυσεις του Marv Favata σχετικές με το “Christodoulou memory effect”, οι οποίες βρίσκονται στην ιστοσελίδα του: http://www.astro.cornell.edu/~favata/publications.html]



Το πρόσφατο κορυφαίο επιστημονικό επίτευγμα της πειραματικής ανίχνευσης βαρυτικών κυμάτων από το LIGO[1] δημιουργεί την ελπίδα ότι το “Christodoulou memory effect” (ή, αλλιώς, “non – linear memory effect”) μπορεί να «ελεγχθεί» πειραματικά νωρίτερα απ’ όσο αρχικώς πιστεύαμε (την ελπίδα αυτή δημιουργεί η εργασία που πρόσφατα ανάρτησε η ομάδα του LIGO: Paul D. Lasky, Eric Thrane, Yuri Levin, Jonathan Blackman, Yanbei Chen, “Detecting gravitational-wave memory with LIGO: implications of GW150914”]
(…)

[1] Βλ. B. P. Abbott et al., “Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger”, Phys. Rev. Lett. 116, 061102 (2016). H μεγάλη σημασία της ανίχνευσης των βαρυτικών κυμάτων μπορεί να συνοψισθεί στις ακόλουθες δυο προτάσεις: Η πλήρης συμφωνία θεωρητικής πρόβλεψης με τη μέτρηση επιβεβαιώνει την ύπαρξη των μελανών οπών και βαρυτικών κυμάτων – άρα και την ισχύ της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας (1916) που προβλέπει θεωρητικά την ύπαρξή τους – στην περιοχή των πλέον ισχυρών βαρυτικών αλληλεπιδράσεων. Για την Αστροφυσική σημαίνει το άνοιγμα δίπλα στην ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία, δηλαδή στο φως σε όλο του το φάσμα, ενός δεύτερου παράθυρου στην παρατήρηση του σύμπαντος.

https://physicsgg.me/2017/04/17/%ce%b7-%cf%80%ce%b1%cf%81%ce%ac%ce%bb%ce%bf%ce%b3%ce%b7-%ce%b1%cf%80%ce%bf%cf%84%ce%b5%ce%bb%ce%b5%cf%83%ce%bc%ce%b1%cf%84%ce%b9%ce%ba%cf%8c%cf%84%ce%b7%cf%84%ce%b1-%cf%84%cf%89%ce%bd-%ce%bc%ce%b1/