Οι τρεις μαθηματικοί που τετραγώνισαν τον κύκλο

Τεμαχίζοντας τον κύκλο σε κομμάτια μπορούμε αναδιατάσσοντάς τα να κατασκευάσουμε ένα ισεμβαδικό τετράγωνο

Πρόκειται για τους Andras Máthé, Oleg Pikhurko και Jonathan Noel που απέδειξαν για πρώτη φορά πώς κατασκευάζουμε ένα τετράγωνο ίσου εμβαδού με έναν κύκλο

 

Τεμαχίζοντας τον κύκλο σε κομμάτια μπορούμε αναδιατάσσοντάς τα να κατασκευάσουμε ένα ισεμβαδικό τετράγωνο

Δεδομένου ότι χρησιμοποιούμε ως μονάδα μέτρησης εμβαδών ένα τετράγωνο που έχει ως πλευρά την μονάδα μήκους, τίθεται αμέσως και το πρόβλημα του τετραγωνισμού των διαφόρων σχημάτων. Πολύ εύκολα ‘τετραγωνίζονται’, δηλαδή υπολογίζεται το εμβαδόν σχημάτων όπως τρίγωνα, παραλληλόγραμμα και ορισμένων πολυγώνων. Δυσκολότερο είναι το επόμενο βήμα, να τετραγωνιστούν εμβαδά σχημάτων που περικλείονται από καμπύλες και πρώτα απ΄ όλα το εμβαδόν ενός κύκλου.

Ο τετραγωνισμός του κύκλου, είναι ένα από τα τρία μεγάλα προβλήματα της αρχαιότητας (μαζί με το Δήλιο πρόβλημα και την τριχοτόμηση της γωνίας) που βασάνιζε τους μαθηματικούς για πολλούς αιώνες. Πρόκειται για την κατασκευή με κανόνα και διαβήτη ενός τετραγώνου πλευράς α, που έχει εμβαδό ίσο με δεδομένο κύκλο, ας πούμε με ακτίνα r=1 για ευκολία, έτσι ώστε: π∙12=α2, όπου π ο λόγος της περιφέρειας προς την διάμετρο του κύκλου. Επομένως ο τετραγωνισμός του κύκλου ισοδυναμεί με την κατασκευή ενός ευθυγράμμου τμήματος, πάντα με κανόνα και διαβήτη, μήκους .

Στην αρχαιότητα είχε διαπιστωθεί ότι ο αριθμός π είναι σταθερός, αλλά η κατασκευή μήκους ίσου με τον αριθμό π με χάρακα και διαβήτη αποτύγχαναν παταγωδώς. Ο πρώτος που αναφέρεται ιστορικά ότι ασχολήθηκε με τον τετραγωνισμό του κύκλου είναι ο Αναξαγόρας ο Κλαζομένιος (500-428 π.Χ.), δάσκαλος και φίλος του Περικλή. Σύμφωνα με τον Πλούταρχο, γύρω στο 450 π.Χ. ο Αναξαγόρας βρισκόταν στην φυλακή για ασέβεια. Είχε υποστηρίξει ότι ο Ήλιος δεν ήταν θεός, αλλά μάλλον ένας διάπυρος βράχος με το μέγεθος της Πελοποννήσου. Όμως ένας άνθρωπος που διαθέτει γνήσιο επαναστατικό πνεύμα ακόμα και στην φυλακή δεν χάνει τον καιρό του. Εκμεταλλεύτηκε την φυλάκισή του για να επιλύσει το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου.

 
 

Χρησιμοποιώντας μόνο έναν χάρακα και έναν διαβήτη, μπορείτε να κατασκευάσετε ένα τετράγωνο ίσου εμβαδού με έναν δεδομένο κύκλο;

Η απάντηση στο ερώτημα που έθεσε ο Αναξαγόρας απαντήθηκε το 1882, όταν ο Γερμανός μαθηματικός Ferdinand von Lindemann απέδειξε πως είναι αδύνατο να χρησιμοποιηθεί κανόνας και διαβήτης για να κατασκευαστεί ένα μήκος ίσο με έναν υπερβατικό αριθμό, όπως ο αριθμός π (ή την τετραγωνική του ρίζα που είναι επίσης υπερβατικός αριθμός). Αλλά το μήκος της πλευράς ενός τετραγώνου που είναι ισεμβαδικό με έναν κύκλο ακτίνας 1, είναι , το οποίο είναι αδύνατο κατασκευαστεί με χάρακα και διαβήτη. Επομένως ο τετραγωνισμός του κύκλου είναι αδύνατος με αυτόν τον τρόπο.

Κι έζησαν αυτοί καλά και εμείς καλύτερα, θα λέγαμε, αν αυτό ήταν το τέλος της ιστορίας. Όμως, το 1925 ο Alfred Tarski επανέφερε το πρόβλημα τροποποιώντας τους κανόνες. Προβληματίστηκε για το αν κάποιος θα μπορούσε τεμαχίζοντας έναν κύκλο σε πεπερασμένο αριθμό κομματιών, που θα μπορούσαν να συρθούν πάνω στο επίπεδο, να τα αναδιατάξει σχηματίζοντας ένα τετράγωνο ίσου εμβαδού – μια προσέγγιση γνωστή ως ισοδιαχωρισμός (θυμίζει το Οστομάχιον του Αρχιμήδη).

Προφανώς δυο σχήματα που χωρίζονται σε ισάριθμα ίσα μέρη (ισοδιαχωρίσιμα) έχουν ίσα εμβαδά. Έτσι οι μαθηματικοί που παραδόξως εξακολούθησαν να εργάζονται πάνω στο πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου, αφήνοντας στην άκρη τους χάρακες και τους διαβήτες, έκαναν προόδους. Μια εργασία που δημοσιεύθηκε το 1964 ήταν η πρώτη που έκανε ουσιαστική πρόοδο στην εκδοχή του προβλήματος που διατύπωσε ο Tarski. Οι συγγραφείς της έδειξαν ότι ο ισοδιαχωρισμός δεν μπορούσε να γίνει με ψαλίδι. Εφόσον αυτός ήταν δυνατός, θα απαιτούσε πιο περίπλοκα κομμάτια φράκταλ, γεμάτα με τρύπες και περίπλοκα οδοντωτά άκρα.

Τα πράγματα παρέμειναν στάσιμα μέχρι το 1990, όταν ο Miklós Laczkovich απάντησε στο ερώτημα του Tarski με ένα ηχηρό ναι: Ένας κύκλος θα μπορούσε να διαμορφωθεί εκ νέου με ισοδιαχωρισμό σε ένα τετράγωνο.

Για να οπτικοποιήσετε το επίτευγμα του Laczkovich, φανταστείτε έναν κύκλο και ένα τετράγωνο δίπλα-δίπλα σε μια σελίδα. Απέδειξε ότι αν ο κύκλος χωριζόταν έως το πολύ 1050 κομμάτια, όλα τους περίπλοκα και με ασυνήθιστα σχήματα, αυτά τα κομμάτια θα μπορούσαν να μετακινηθούν – χωρίς καν να περιστραφούν – μέχρι να γεμίσουν εντελώς το τετράγωνο.

Αλλά για να φτάσει στο αποτέλεσμα αυτό, ο Laczkovich δεν δούλεψε με σχήματα. Αντίθετα, μετέτρεψε το πρόβλημα της γεωμετρίας σε πρόβλημα θεωρίας γραφημάτων. Πήρε ένα μεγάλο γράφημα με δύο ξεχωριστά σύνολα κορυφών — το ένα αντιστοιχούσε σε κύκλο, το άλλο σε τετράγωνο — και μετά επέβαλλε αντιστοιχίες μεταξύ των κορυφών του ενός συνόλου με το άλλο.

Υπήρχε όμως ένα κόλλημα. Ο Laczkovich απέδειξε ότι ο ισοδιαχωρισμός του κύκλου σε τετράγωνο μπορούσε να γίνει, αλλά δεν κατάφερε δείξει πώς θα κατασκευαστούν τα κομμάτια, ούτε μπορούσε να τα περιγράψει με οποιονδήποτε τρόπο. Κι ακόμη χειρότερα, τα κομμάτια είναι «μη μετρήσιμα», πράγμα που σημαίνει ότι είναι αδύνατο να προσδιοριστεί το εμβαδό τους.

Το επόμενο μεγάλο βήμα έγινε δεκαετίες αργότερα με την εργασία που δημοσιεύτηκε τον Ιανουάριο του 2016 από τους Łukasz Grabowski, Máthé και Pikhurko. Η απόδειξή τους, σε αντίθεση με αυτή του Laczkovich, θεωρούσε ότι τα κομμάτια είναι ως επί το πλείστον καλά καθορισμένα. Αλλά και πάλι υπήρχε ένα θολό σημείο: αυτά τα καλώς ορισμένα κομμάτια του κύκλου δεν γέμιζαν όλο το τετράγωνο. Χρειαζονταν επιπλέον κομμάτια για να καλύψουν ένα μικροσκοπικό τμήμα του τετραγώνου. Έστω κι αν το τμήμα αυτό είναι τόσο μικροσκοπικό που δεν έχει εμβαδόν και οι μαθηματικοί το αναφέρουν ως «σύνολο μέτρου μηδέν».

Οι Andrew S. Marks και Spencer T. Unger, έκαναν μια σημαντική βελτίωση ένα χρόνο μετά, δίνοντας μια πληρέστερη απόδειξη του τετραγωνισμού του κύκλου, περιγράφοντας όλα τα κομμάτια που χρειάζονται για να τετραγωνιστεί ο κύκλος, χωρίς το απωθητικό κομμάτι με μηδενικό εμβαδό.

Η απόδειξή τους περιλάμβανε πολύ περισσότερα κομμάτια – περίπου 10200 – κι αυτά τα κομμάτια εξακολουθούσαν να είναι αρκετά περίπλοκα. Το μειονέκτημα στην εργασία μας, δήλωσε ο Marks, είναι ότι παρόλο που τα κομμάτια καθορίζονται ρητά από μαθηματική άποψη, είναι πολύ δύσκολο να τα οπτικοποιήσουμε.

Όμως, στην εργασία των Andras Máthé, Oleg Pikhurko και Jonathan Noel με τίτλο ‘Circle Squaring with Pieces of Small Boundary and Low Borel Complexity‘, που δημοσιεύτηκε την περασμένη εβδομάδα, υποδεικνύεται πώς ένας κύκλος μπορεί να τετραγωνιστεί κόβοντάς τον σε κομμάτια τα οποία όμως μπορούν να οπτικοποιηθούν και πιθανώς να σχεδιαστούν.

Τα κομμάτια τους, που εξακολουθούν να είναι πολλά, περίπου 10200, έχουν απλούστερα σχήματα και είναι πολύ πιο εύκολο για τους μαθηματικούς να τα οπτικοποιήσουν. Αλλά και πάλι δεν φτάσαμε στο το τέλος της ιστορίας του τετραγωνισμού του κύκλου.

Ήδη, ο Pikhurko έχει ιδέες για να απλοποιήσει περαιτέρω τα κομμάτια, μειώνοντας τον συνολικό αριθμό τους και κάνοντάς τα λιγότερο ανομοιόμορφα. Ο Marks κάνει προσομοιώσεις στον υπολογιστή που δείχνουν – αλλά δεν αποδεικνύουν – ότι ο ισοδιαχωρισμός μπορεί να επιτευχθεί με 22 κομμάτια. Πιστεύει ότι ο ελάχιστος αριθμός είναι πιθανότατα ακόμη χαμηλότερος. Και δηλώνει ότι: θα στοιχημάτιζα μια ταπεινή μπύρα (αλλά όχι 1000 δολάρια) ότι μπορεί να αποδειχθεί ο τετραγωνισμός του κύκλου με λιγότερα από 20 κομμάτια.

πηγή: https://www.quantamagazine.org/an-ancient-geometry-problem-falls-to-new-mathematical-techniques-20220208/


https://physicsgg.me/2022/02/10/%ce%bf%ce%b9-%cf%84%cf%81%ce%b5%ce%b9%cf%82-%ce%bc%ce%b1%ce%b8%ce%b7%ce%bc%ce%b1%cf%84%ce%b9%ce%ba%ce%bf%ce%af-%cf%80%ce%bf%cf%85-%cf%84%ce%b5%cf%84%cf%81%ce%b1%ce%b3%cf%8e%ce%bd%ce%b9%cf%83%ce%b1/