Το γεωμετρικό εργαλείο που έλυσε το πρόβλημα της σχετικότητας του Αϊνστάιν

Οι τανυστές χρησιμοποιούνται σε όλα τα μαθηματικά και την επιστήμη για να αποκαλύψουν κρυμμένες γεωμετρικές αλήθειες. Τι είναι λοιπόν οι τανυστές;

Μετά την δημοσίευση της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας το 1905, ο Άλμπερτ Αϊνστάιν πέρασε την επόμενη δεκαετία προσπαθώντας να καταλήξει σε μια θεωρία της βαρύτητας. Για χρόνια, πάλευε να αποδείξει ότι η βαρύτητα στην πραγματικότητα είναι μια παραμόρφωση της γεωμετρίας του χωροχρόνου που προκαλείται από την παρουσία της ύλης. Αλλά γνώριζε επίσης ότι ο χρόνος και η απόσταση είναι κόντρα στην διαίσθησή μας μεγέθη σχετικά: αλλάζουν ανάλογα με το σύστημα αναφοράς. Η κίνηση προκαλεί συστολή του μήκους και διαστολή του χρόνου. Πώς λοιπόν θα μπορούσαμε να περιγράψουμε αντικειμενικά τη βαρύτητα, ανεξάρτητα από το αν είμαστε ακίνητοι ή κινούμαστε;

Ο Αϊνστάιν βρήκε τη λύση σε μια νέα γεωμετρική θεωρία που δημοσιεύτηκε λίγα χρόνια νωρίτερα από τους Ιταλούς μαθηματικούς Gregorio Ricci-Curbastro και Tullio Levi-Civita. Αυτή η θεωρία έθεσε τα μαθηματικά θεμέλια σε αυτό που αργότερα θα ονομαζόταν «τανυστής».

Έκτοτε οι τανυστές αποτελούν βασικό εργαλείο όχι μόνο στη γενική θεωρία της σχετικότητας του Αϊνστάιν, αλλά και στη μηχανική μάθηση, την κβαντική μηχανική, ακόμη και στη βιολογία.  Σύμφωνα με τον Διονύσιο Άννινο, θεωρητικό φυσικό στο King’s College του Λονδίνου, «οι τανυστές είναι η αποτελεσματικότερη μέθοδος που διαθέτουμε για να οργανώσουμε τις εξισώσεις μας. Είναι η φυσική γλώσσα για τα γεωμετρικά αντικείμενα».

Όμως είναι δύσκολο να οριστούν. Ένας επιστήμονας υπολογιστών μπορεί να σας πει ότι ένας τανυστής είναι μια διάταξη αριθμών που αποθηκεύει σημαντικά δεδομένα. Ένας απλός αριθμός είναι ένας τανυστής «τάξης 0». Μια σειρά αριθμών, που ονομάζεται διάνυσμα, είναι ένας τανυστής τάξης 1. Μια δισδιάστατη διάταξη αριθμών, ή πίνακας, είναι ένας τανυστής τάξης 2, κ.ο.κ.

Αλλά ένας φυσικός ή μαθηματικός θα βρει αυτόν τον ορισμό ελλιπή. Για αυτούς, αν και οι τανυστές μπορούν να αναπαρασταθούν με τέτοιες διατάξεις αριθμών, έχουν μια βαθύτερη γεωμετρική σημασία.

Για να κατανοήσετε τη γεωμετρική έννοια του τανυστή, ξεκινήστε με τα διανύσματα. Μπορείτε να φανταστείτε ένα διάνυσμα ως ένα βέλος στον χώρο. (Αυτό το βέλος δεν χρειάζεται να είναι ‘αγκυρωμένο’ σε μια συγκεκριμένη θέση: αν το μετακινήσετε στον χώρο, παραμένει το ίδιο διάνυσμα). Ένα διάνυσμα μπορεί να παριστάνει, για παράδειγμα, την ταχύτητα ενός σωματιδίου, με το μήκος του να εκφράζει την ταχύτητά του και η κατεύθυνσή του τον προσανατολισμό της.

Αυτές οι πληροφορίες περιέχονται σε μια λίστα αριθμών. Για παράδειγμα, ένα διάνυσμα σε δισδιάστατο χώρο ορίζεται από ένα ζεύγος αριθμών. Ο πρώτος αριθμός μας λέει πόσες μονάδες εκτείνεται το βέλος προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά και ο δεύτερος μας λέει πόσο εκτείνεται προς τα πάνω ή προς τα κάτω.

Αλλά αυτοί οι αριθμοί εξαρτώνται από τον τρόπο π

ου έχετε ορίσει το σύστημα συντεταγμένων σας. Ας υποθέσουμε ότι αλλάζει το σύστημα συντεταγμένων μας:

Τώρα εκφράζετε το διάνυσμα ως προς το πόσο εκτείνεται σε κάθε κατεύθυνση του νέου συστήματος συντεταγμένων. Αυτό μας δίνει ένα διαφορετικό ζευγάρι αριθμών. Αλλά το ίδιο το διάνυσμα δεν έχει αλλάξει: Το μήκος και ο προσανατολισμός του παραμένουν οι ίδιοι, ανεξάρτητα από το σύστημα συντεταγμένων στο οποίο βρισκόμαστε. Επιπλέον, αν γνωρίζετε πώς να μετακινηθείτε από το ένα σύστημα συντεταγμένων στο άλλο, θα γνωρίζετε επίσης αυτόματα το πώς η λίστα των αριθμών που εκφράζουν το διάνυσμα πρέπει να αλλάξει.

Οι τανυστές γενικεύουν αυτές τις ιδέες. Ένα διάνυσμα είναι ένας τανυστής τάξης 1. Οι τανυστές υψηλότερης τάξης περιέχουν πιο περίπλοκες γεωμετρικές πληροφορίες.

Για παράδειγμα, φανταστείτε ότι έχετε έναν κύβο από χάλυβα και θέλετε να περιγράψετε όλες τις δυνάμεις που μπορούν να ασκηθούν σ’ αυτόν. Ένας τανυστής τάξης 2 – γραμμένος ως πίνακας – μπορεί να το κάνει αυτό. Κάθε μία από τις έδρες του κύβου αισθάνεται δυνάμεις σε τρεις διαφορετικές κατευθύνσεις. (Για παράδειγμα, η δεξιά έδρα του κύβου μπορεί να βιώσει δυνάμεις στην κατεύθυνση πάνω-κάτω, αριστερά-δεξιά και προς τα εμπρός-πίσω.)

Επομένως, ο τανυστής που περικλείει όλες αυτές τις δυνάμεις μπορεί να παρασταθεί από έναν πίνακα εννέα αριθμών – έναν αριθμό για κάθε κατεύθυνση για κάθε μία από τις τρεις έδρες (οι άλλες τρεις απέναντι έδρες σε αυτό το παράδειγμα, θεωρούνται περιττές)

Οι μαθηματικοί συχνά αντιλαμβάνονται τους τανυστές ως συναρτήσεις που λαμβάνουν ένα ή περισσότερα διανύσματα ως εισόδους και παράγουν ένα άλλο διάνυσμα, ή έναν αριθμό, ως έξοδο. Αυτή η έξοδος δεν εξαρτάται από την επιλογή του συστήματος συντεταγμένων. (Αυτός ο περιορισμός είναι που κάνει τους τανυστές να ξεχωρίζουν από τις συναρτήσεις γενικότερα.) Ένας τανυστής μπορεί, για παράδειγμα, να λάβει στην είσοδο δύο διανύσματα που σχηματίζουν τις πλευρές ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου και να εξάγει το εμβαδό του ορθογωνίου. Αν περιστρέψετε το ορθογώνιο, οι συντεταγμένες των διανυσμάτων θα αλλάξουν. Αλλά το εμβαδόν του όχι.

Στη θεωρία της σχετικότητας του Αϊνστάιν, η απόσταση και ο χρόνος – που κάποτε θεωρούνταν απόλυτοι – αποδεικνύεται ότι αλλάζουν για διαφορετικούς παρατηρητές. Αλλά όπως το μήκος και το ύψος μπορούν να συνδυαστούν για τον υπολογισμό του εμβαδού, η απόσταση και ο χρόνος μπορούν να συνδυαστούν για να ορίσουν άλλες σταθερές ιδιότητες ή αναλλοίωτα. Οι τανυστές επέτρεψαν στον Αϊνστάιν να χειριστεί αποτελεσματικά αυτά τα αναλλοίωτα και να περιγράψει τη σχέση μεταξύ μάζας και χωροχρόνου. Μπόρεσε να γράψει μια μοναδική εξίσωση που να περιγράφει πώς η ύλη καμπυλώνει τον χωροχρόνο, συμπυκνώνοντας αυτό που διαφορετικά θα ήταν 16 ξεχωριστές, αλληλένδετες εξισώσεις.

Από τη δημοσίευση αυτής της εξίσωσης το 1915, οι τανυστές έχουν γίνει πανταχού παρόντες. Οι φυσικοί τους χρησιμοποιούν για να χαρακτηρίσουν την κίνηση των ηλεκτρονίων γύρω από τους ατομικούς πυρήνες ή για να περιγράψουν την κατάσταση ενός συν-πλεκομένου κβαντικού συστήματος. Οι επιστήμονες υπολογιστών τους χρησιμοποιούν για να αποθηκεύσουν τις παραμέτρους των μοντέλων μηχανικής μάθησης. Οι βιολόγοι τους χρησιμοποιούν για να εντοπίσουν χαρακτηριστικά πίσω από μια φυλογενετική ανάλυση. Και οι μαθηματικοί τους πολλαπλασιάζουν μεταξύ τους για να δημιουργήσουν ακόμη πιο περίπλοκους τανυστές και στη συνέχεια μελετούν τους νέους χώρους στους οποίους ζουν αυτοί οι τανυστές. Οι τανυστές μπορούν να βοηθήσουν τους μαθηματικούς να εξερευνήσουν περίπλοκες συμμετρίες, να αναλύσουν ιδιότητες ειδικών σχημάτων που ονομάζονται πολλαπλότητες και να διερευνήσουν τις σχέσεις μεταξύ διαφορετικών συναρτήσεων.

Κάποτε ο Αϊνστάιν παρακάλεσε έναν φίλο του να τον βοηθήσει να καταλάβει τους τανυστές, φοβούμενος ότι θα τρελαινόταν. Τους κατανόησε πολύ καλά – και έκτοτε αποτέλεσαν το κλειδί για την ικανότητα των επιστημόνων να περιγράφουν τον κόσμο μας.

πηγή: Joseph Howlett, «The Geometric Tool That Solved Einstein’s Relativity Problem» https://www.quantamagazine.org/the-geometric-tool-that-solved-einsteins-relativity-problem-20240812/

 

https://physicsgg.me/2024/10/27/%cf%84%ce%bf-%ce%b3%ce%b5%cf%89%ce%bc%ce%b5%cf%84%cf%81%ce%b9%ce%ba%cf%8c-%ce%b5%cf%81%ce%b3%ce%b1%ce%bb%ce%b5%ce%af%ce%bf-%cf%80%ce%bf%cf%85-%ce%ad%ce%bb%cf%85%cf%83%ce%b5-%cf%84%ce%bf-%cf%80%cf%81/