Το σύμπαν του Αϊνστάιν και η ποίηση του Δάντη

Σύμφωνα με την θεωρία του Αϊνστάιν το σύμπαν δεν είναι ούτε άπειρο ούτε διαθέτει κάποιο όριο. Πως γίνεται αυτό; Ακριβώς όπως η επιφάνεια της Γης. Δεν είναι άπειρη αλλά και ούτε διαθέτει σύνορο εκεί που «τελειώνει». Αυτό μπορεί να συμβεί απολύτως φυσιολογικά εάν κάτι καμπυλώνεται: η επιφάνεια της Γης, για παράδειγμα, είναι καμπυλωμένη. Και στη γενική θεωρία της σχετικότητας ο τρισδιάστατος χώρος μπορεί επίσης να είναι καμπυλωμένος. Συνεπώς, το σύμπαν μας μπορεί να είναι πεπερασμένο αλλά χωρίς σύνορο. 

Στην επιφάνεια της Γης, εάν κινηθώ διαρκώς ευθύγραμμα, δεν θα προχωράω επ’ άπειρον: τελικά θα επιστρέψω στο οποίο ξεκίνησα. Έτσι θα μπορούσε να είναι φτιαγμένο και το σύμπαν μας: εάν πάρω το διαστημόπλοιό μου και αρχίζω να κινούμαι χωρίς να αλλάζω κατεύθυνση, θα κάνω τον γύρω του σύμπαντος και τελικά θα καταλήξω πάλι πίσω στη Γη. Ένας τρισδιάστατος χώρος αυτού του είδους, πεπερασμένος αλλά χωρίς όριο, ονομάζεται 3-σφαίρα ή τρισδιάστατη σφαίρα. 

Για να κατανοήσουμε τη γεωμετρία μιας τρισδιάστατης σφαίρας (3-σφαίρας), ας ξεκινήσουμε με την … μονοδιάστατη σφαίρα (1-σφαίρα) του παρακάτω σχήματος: 

Σχήμα 1. Θεωρούμε έναν δίσκο ο οποίος έχει ως σύνορό του την περιφέρεια ενός κύκλου. Για τους μαθηματικούς, ο δίσκος αποτελεί μια «δισδιάστατη μπάλα», ενώ η περιφέρεια του κύκλου μια «μονοδιάστατη σφαίρα (1-σφαιρα)». Γι αυτούς μπάλα οποιασδήποτε διάστασης, ονομάζεται το «συμπαγές» αντικείμενο, το ανάλογο ας πούμε της μπάλας του μπιλιάρδου, ενώ η σφαίρα αντιστοιχεί στην επιφάνεια της μπάλας, το ανάλογο δηλαδή του μπαλονιού. Η περιφέρεια του κύκλου είναι μονοδιάστατο σχήμα, διότι απαιτείται ένας και μόνο αριθμός για τον προσδιορισμό οποιουδήποτε σημείου πάνω του. Η περιφέρεια του κύκλου αποτελεί το σύνορο (το χείλος) του δίσκου.

Τώρα μπορούμε να κατασκευάσουμε μια δισδιάστατη σφαίρα (2-σφαίρα) από δυο αντίγραφα του δίσκου του σχήματος 1:

Σχήμα 2. Παραμορφώνουμε τους δίσκους δίνοντάς τους τη μορφή ημισφαιρίου, με την προοπτική να αποτελέσει ο ένας το βόρειο ημισφαίριο και ο άλλος το νότιο. Στη συνέχεια κολλάμε τα δυο ημισφαίρια στα όριά τους παίρνοντας μια 2-σφαίρα ή δισδιάστατη σφαίρα (προσοχή, όχι μπάλα!)

Ας εξετάσουμε την επιφάνεια της δισδιάστατης σφαίρας ή την επιφάνεια της Γης με αυτή την οπτική. Αν προβάλουμε την επιφάνεια της Γης σε ένα επίπεδο, παίρνουμε δυο δίσκους (όπως συνηθίζεται όταν αναπαριστούμε τις ηπείρους σε χάρτες). 

Σχήμα 3. Μια σφαίρα μπορεί να αναπαρασταθεί από δύο δίσκους οι οποίοι στην πραγματικότητα είναι ενωμένοι κατά μήκος των περιφερειών τους:
(Αριστερά) Θεωρούμε την οικεία μας δισδιάστατη σφαίρα. Φανταζόμαστε ένα μυρμήγκι που ξεκινά από τον βόρειο πόλο και περπατά κατά μήκος ενός μέγιστου κύκλου, περνά από τον νότιο πόλο και επιστρέφει στην αφετηρία του. Σύμφωνα με το σχήμα 2, η δισδιάστατη σφαίρα προέκυψε από την παραμόρφωση δύο αρχικών δίσκων. Αν απεικονίσουμε την προηγούμενη διαδρομή του μυρμηγκιού πάνω στους αρχικούς δίσκους
(Δεξιά), παρατηρούμε ότι το μυρμήγκι ταξιδεύει κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής [1] με κατεύθυνση από το κέντρο προς την περιφέρεια του ‘βόρειου’ δίσκου [α]. Ακολούθως τη διασχίζει περνώντας στο σημείο που αντιστοιχεί στον ‘νότιο’ δίσκο, τον οποίο διατρέχει σε ευθεία γραμμή [2 και 3]. Όταν ξαναφθάσει στην περιφέρεια (του ‘νότιου’ δίσκου αυτή τη φορά, [β]), την ξαναπερνά και επιστρέφει πάλι στον δίσκο που αντιστοιχεί στο βόρειο ημισφαίριο, όπου συνεχίζει το ταξίδι του επιστρέφοντας τελικά στην αφετηρία του στον σημείο[4]. Ακολουθήσαμε την διαδρομή του μυρμηγκιού καθώς πραγματοποιούσε τον περίπλου της δισδιάστατης σφαίρας παρακολουθώντας συγχρόνως την πορεία που διέγραφε πάνω στους δίσκους. Το μόνο σημείο που χρειάζεται προσοχή είναι ότι η κατεύθυνση της κίνησης φαίνεται να αντιστρέφεται κατά το πέρασμα από τον έναν δίσκο στον άλλο. [Αναλογιστείτε κάποιον που διασχίζει τον ισημερινό της Γης και μετατρέπει το βόρειο και νότιο ημισφαίριο σε δίσκους]

Προσέξτε ότι ένας κάτοικος του νότιου ημισφαιρίου «περιβάλλεται«, υπό μία έννοια, από το βόρειο ημισφαίριο, αφού από οποιοδήποτε σημείο κι αν εξέλθει από το ημισφαίριό του, θα βρεθεί στο άλλο. Προφανώς και το αντίθετο είναι αληθές: κάθε ημισφαίριο «περιβάλλει», και περιβάλλεται, από το άλλο. Μια τρισδιάστατη σφαίρα (3-σφαίρα) μπορεί να αναπαρασταθεί με τον ίδιο τρόπο, με τη διαφορά ότι τώρα προσθέτουμε στα πάντα μια ακόμα διάσταση, και έτσι παίρνουμε δυο μπάλες ενωμένες κατά μήκος των περιγραμμάτων τους. Όταν εξερχόμαστε από τη μία μπάλα εισερχόμαστε στην άλλη, ακριβώς όπως όταν εξερχόμαστε από τον έναν δίσκο που αναπαριστά την υφήλιο εισερχόμαστε στον άλλο. Κάθε μπάλα περιβάλλει και περιβάλλεται από την άλλη. Η ιδέα του Αϊνστάιν είναι ότι ο χώρος θα μπορούσε να είναι μια 3-σφαίρα: μια οντότητα με πεπερασμένο όγκο (το άθροισμα των δύο μπαλών), χωρίς σύνορα [*]. Η 3-σφαίρα είναι η λύση που προτείνει ο ο Αϊνστάιν στο πρόβλημα του συνόρου του σύμπαντος. 

Σχήμα 4. Μια 3-σφαίρα μπορεί να αναπαρασταθεί από δυο μπάλες ενωμένες μεταξύ τους. Θεωρούμε την δισδιάστατη σφαίρα και τον όγκο που αυτή περικλείει (την «τρισδιάστατη μπάλα») και εφαρμόζουμε ότι κάναμε προηγουμένως. Παίρνουμε δυο αντίγραφα της τρισδιάστατης μπάλας και κολλάμε τα σύνορά τους. Δεν μπορούμε να συλλάβουμε εποπτικά πως παραμορφώνονται οι τρισδιάστατες μπάλες στις 4 διαστάσεις, ώστε να σχηματίσουν το ανάλογο των ημισφαιρίων, αλλά αυτό δεν είναι απαραίτητο. Αρκεί να ξέρουμε πως τα αντίστοιχα σημεία κάθε επιφάνειας – που ανήκουν δηλαδή στις δισδιάστατες σφαίρες – ενώνονται μεταξύ τους, όπως γινόταν και με τα αντίστοιχα σημεία των κύκλων. Οι δυο μπάλες, όταν ενωθούν σχηματίζουν μια τρισδιάστατη σφαίρα ή 3-σφαίρα, η οποία αποτελεί «την επιφάνεια» μιας τετραδιάστατης μπάλας. Τη μια μπάλα μπορούμε να ονομάσουμε βόρειο ημισφαίριο και την άλλη νότιο. Ο βόρειος πόλος βρίσκεται στο κέντρο της βόρειας μπάλας ( όπως και ο βόρειος πόλος σημειωνόταν πριν στο κέντρο του βορείου δίσκου). Τα ίδια ισχύουν και για το νότιο πόλο.

Σχήμα 5. Στη συνέχεια μπορούμε να φανταστούμε ότι αυτές οι τρισδιάστατες μπάλες είναι μεγάλες, άδειες περιοχές του χώρου (όπως το σύμπαν!) και ότι κάποιος ξεκινά με πύραυλο από τον βόρειο πόλο. Τελικά, φθάνει στον «ισημερινό» [1], ο οποίος αντιστοιχεί σε ολόκληρη τη δισδιάστατη σφαίρα που περιβάλλει την βόρεια τρισδιάστατη μπάλα. Διασχίζει τον ισημερινό και περνά στο νότιο ημισφαίριο, όπου και ταξιδεύει σε ευθεία γραμμή φθάνοντας δια μέσου του κέντρου του (του νοτίου πόλου) στην αντίθετη πλευρά του ισημερινού [2 και 3]. Από εκεί περνά πάλι στο βόρειο ημισφαίριο και επιστρέφει στον βόρειο πόλο, την αφετηρία από την οποία ξεκίνησε [4]. Μόλις φανταστήκαμε κάποιον που να ταξιδεύει πάνω στην επιφάνεια μιας τετραδιάστατης μπάλας, εκτελώντας τον περίπλου της! 

Η 3-σφαίρα στην Θεία Κωμωδία του Δάντη

Η τρισδιάστατη σφαίρα ή 3-σφαίρα, η οποία αποτελείται από δυο τρισδιάστατες μπάλες που ένωσαν τις σφαιρικές τους επιφάνειες, είναι και το σχήμα του σύμπαντος, τα όρια του οποίου είναι η επιφάνεια μιας τετραδιάστατης σφαίρας, σύμφωνα με την λύση των εξισώσεων του Αϊνστάιν που πρότεινε το 1917.

Όσο απίστευτο κι αν ακούγεται, η ίδια ιδέα είχε ήδη συλληφθεί από μια άλλη μεγαλοφυία, σε ένα εντελώς διαφορετικό πολιτισμικό σύμπαν: τον Δάντη, τον μεγαλύτερο ποιητή της Ιταλίας. Το ποίημα του «Θεία Κωμωδία» χωρίζεται σε τρία κύρια μέρη Κόλαση, Καθαρτήριο και Παράδεισος (μια αξιοσημείωτη λεπτομέρεια είναι ότι κάθε κύριο μέρος κλείνει με τη λέξη άστρα). Στον Παράδεισο, το τρίτο μέρος του επικού ποιήματός του, ο Δάντης παρουσιάζει ένα μεγαλειώδες όραμα του μεσαιωνικού κόσμου, βασισμένο στον Αριστοτέλη, με την σφαιρική Γη στο κέντρο του, περιβαλλόμενη από τις ουράνιες σφαίρες.

Συνοδευόμενος από την λαμπερή αγαπημένη του Βεατρίκη, ο Δάντης ανεβαίνει αυτές τις σφαίρες κάνοντας ένα φανταστικό ιδεαλιστικό ταξίδι προς την εξώτερη σφαίρα. Όταν φτάνει εκεί στοχάζεται το σύμπαν που βρίσκεται αποκάτω του με όλες τις περιστρεφόμενες ουράνιες σφαίρες του και τη Γη, που βρίσκεται ακόμα πιο κάτω, στο κέντρο του σύμπαντος. Αλλά μετά κοιτά ψηλότερα – και τι βλέπει; Βλέπει ένα φωτεινό σημείο περιβαλλόμενο από τεράστιες σφαίρες αγγέλων, δηλαδή από μια άλλη τεράστια μπάλα, η οποία, όπως ο ίδιος λέει, «περιβάλλει και την ίδια στιγμή περιβάλλεται από» τη σφαίρα του σύμπαντός μας! Αυτοί είναι οι στίχοι του Δάντη από το Άσμα XXVII του Παραδείσου: «Aυτό το άλλο μέρος του σύμπαντος περιβάλλει το πρώτο κυκλώνοντάς το όπως το πρώτο περιβάλλει τα άλλα» . Και στο επόμενο άσμα, ακόμα στον τελευταίο κύκλο «φαίνεται περίκλειστος από εκείνους που περικλείει» . Το σημείο του φωτός και οι σφαίρες των αγγέλων περιβάλλουν το σύμπαν, και την ίδια στιγμή περιβάλλονται από το σύμπαν! Πρόκειται για μια ακριβέστατη περιγραφή της 3-σφαίρας! 

H παραδοσιακή αναπαράσταση του σύμπαντος του Δάντη

Οι συνήθεις αναπαραστάσεις του σύμπαντος του Δάντη διαχωρίζουν τις αγγελικές  σφαίρες από τις ουράνιες σφαίρες. Όμως ο Δάντης γράφει ότι οι δυο σφαίρες «περιβάλλουν» και περιβάλλονται η μια από την άλλη». Ο Δάντης φαίνεται να διαθέτει μια ξεκάθαρη διαισθητική αντίληψη της 3-σφαίρας. 

Πως είναι δυνατόν ο Δάντης να έχει μια ιδέα που ακούγεται τόσο μοντέρνα; Είχε διαβάσει ο Αϊνστάιν την «Θεία Κωμωδία» του Δάντη; Μήπως η ποίηση και η επιστήμη μπορούν να καταλήξουν στις ίδιες διαισθητικές ιδέες; Ο πολιτισμός μας κάνει ένα ανόητο λάθος όταν διατηρεί αποστάσεις μεταξύ επιστήμης και ποίησης: και τα δυο είναι εργαλεία με τα οποία μπορούμε να δούμε καλύτερα την πολυπλοκότητα και την ομορφιά του κόσμου.

Η 3-σφαίρα του Δάντη είναι μόνο μια διαίσθηση σε ένα όνειρο. Η 3-σφαίρα του Αϊνστάιν έχει μια μαθηματική μορφή και έπεται από τις εξισώσεις της θεωρίας. Ο αντίκτυπος κάθε μίας είναι διαφορετικός. Ο Δάντης μας συγκινεί βαθιά, αγγίζοντας τις απαρχές των συναισθημάτων μας. Ο Αϊνστάιν ανοίγει έναν δρόμο προς τα άλυτα μυστήρια του σύμπαντός μας. Αλλά και οι δύο πραγματοποίησαν μια από τις ωραιότερες πτήσεις που ο νους μας μπορεί να επιτελέσει.

πηγές: 1.«Η πραγματικότητα δεν είναι αυτό που φαίνεται» , Rovelli Carlo, (μετάφραση: Νίκος Αποστολόπουλος), Εκδόσεις Πατάκη , 2. Η τετραδιάστατη μπάλα και η τρισδιάστατη σφαίρα (ή η γεωμετρία του σύμπαντος)

[*] Σφαίρα είναι το σύνολο των σημείων στον R³ που προσδιορίζονται από την εξίσωση x²+y²+z²=1. H 3-σφαίρα είναι το σύνολο των σημείων στον R⁴ που προσδιορίζονται από την εξίσωση x²+y²+z²+u²=1.

Ο πρώτος που πρόσεξε ότι ο Παράδεισος του Δάντη περιγράφει το σύμπαν σαν μια 3-σφαίρα ήταν ο Αμερικανός μαθηματικός Marc Peterson το 1979, στην δημοσίευσή του με τίτλο «Dante and the 3-sphere» , American Journal of Physics 47(12):1031-1035:

https://physicsgg.me/2021/04/03/%cf%84%ce%bf-%cf%83%cf%8d%ce%bc%cf%80%ce%b1%ce%bd-%cf%84%ce%bf%cf%85-%ce%b1%cf%8a%ce%bd%cf%83%cf%84%ce%ac%ce%b9%ce%bd-%ce%ba%ce%b1%ce%b9-%ce%b7-%cf%80%ce%bf%ce%af%ce%b7%cf%83%ce%b7-%cf%84%ce%bf%cf%85/