Ατελείωτες τετραγωνικές ρίζες από τον Ραμανουτζάν

Δυο σχόλια σχετικά με τα προβλήματα που παρουσιάζονται στην ανάρτηση με τίτλο «Τρεις μαθηματικοί γρίφοι του Ραμανουτζάν» .

(Ι) Όσον αφορά το πρώτο πρόβλημα που αναφέρεται στην απόδειξη της αριθμητικής σχέσης με τις ατελείωτες εγκιβωτισμένες τετραγωνικές ρίζες:

Πρόκειται για μια εφαρμογή της γενικότερης εξίσωσης που βρίσκεται στο πρώτο σημειωματάριο του Ραμανουτζάν. Σύμφωνα με το «θεώρημα» αυτό αν σπάσουμε οποιοδήποτε αριθμό σε τρία μέρη α, b και c, τότε ισχύει:

Έτσι, αν στην παραπάνω σχέση θέσουμε προκύπτει
ενώ θέτοντας προκύπτει , ή π.χ. για παίρνουμε κ.ο.κ

(ΙΙ) Το δεύτερο πρόβλημα, στην ίδια ανάρτηση, αναφέρεται στην εξίσωση που συσχετίζει την χρυσή αναλογία με ένα συνεχές κλάσμα:

Μια ανάλογη εξίσωση, αλλά με συνεχείς τετραγωνικές ρίζες, είναι η εξής:H απόδειξη γίνεται εύκολα, δεδομένου ότι η παράσταση στο κόκκινο πλαίσιο ταυτίζεται με την αρχική, οπότε: ή κ.λπ.

https://physicsgg.me/2016/07/17/%ce%b1%cf%84%ce%b5%ce%bb%ce%b5%ce%af%cf%89%cf%84%ce%b5%cf%82-%cf%84%ce%b5%cf%84%cf%81%ce%b1%ce%b3%cf%89%ce%bd%ce%b9%ce%ba%ce%ad%cf%82-%cf%81%ce%af%ce%b6%ce%b5%cf%82-%ce%b1%cf%80%cf%8c-%cf%84%ce%bf/