Κυκλώματα και μιγαδικοί αριθμοί

Τα τρία βασικά στοιχεία που εμφανίζονται στα κυκλώματα εναλλασσομένου ρεύματος είναι: ο ωμικός αντιστάτης R, ο πυκνωτής χωρητικότητας C και το πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L.

 
Το καθένα από αυτά τα στοιχεία «δυσκολεύει» με τον δικό του τρόπο τη ροή του εναλλασσομένου ρεύματος, μια δυσκολία που εκφράζεται από την ωμική αντίσταση των αντιστατών, την χωρητική αντίσταση των πυκνωτών και την επαγωγική αντίσταση των πηνίων , όπου ω είναι η κυκλική συχνότητα του εναλλασσομένου ρεύματος (*)

Μπορούμε να μελετήσουμε πολύπλοκα ηλεκτρικά κυκλώματα εναλλασσομμένου ρεύματος, όπως το κύκλωμα του παραπάνω σχήματος, με διάφορους συνδυασμούς των τριών στοιχείων R, L και C, με το ίδιο τρόπο που θα τα μελετούσαμε αν είχαμε κύκλωμα συνεχούς ρεύματος με απλούς αντιστάτες. Aρκεί να εφαρμόσουμε την εξής αντιστοιχία όσον αφορά τις «αντιστάσεις» του κυκλώματος: , και , όπου η φανταστική μονάδα:

Στη συνέχεια θα εξετάσουμε τρία παραδείγματα που εμφανίζονται στα σχολικά εγχειρίδια.

Α. Το κλασικό κύκλωμα R-L-C σε σειρά:

Όσον αφορά την συνολική εμπέδηση του κυκλώματος, αφού τα τρία στοιχεία συνδέονται σε σειρά έχουμε: . Το μέτρο του μιγαδικού αριθμού μας δίνει την γνωστή μας σχέση για την εμπέδηση του κυκλώματος R-L-C: , απ’ όπου εύκολα προκύπτει η κυκλική συχνότητα για την οποία η εμπέδηση του κυκλώματος γίνεται ελάχιστη και το πλάτος του ρεύματος μέγιστο (συντονισμός).

Β. Τα τρία στοιχεία R-L-C συνδέονται παράλληλα:

Εδώ η συνολική εμπέδηση του κυκλώματος θα είναι: ή σύμφωνα με τις προαναφερθείσες αντιστοιχίες: . Θεωρώντας το μέτρο των μιγαδικών αριθμών παίρνουμε την γνωστή σχέση:
Στην περίπτωση αυτή όταν η συχνότητα παίρνει την τιμή , η ολική εμπέδηση του κυκλώματος γίνεται μέγιστη και το πλάτος του ρεύματος ελάχιστο.

Γ. Τελευταίο παράδειγμα είναι η παρακάτω παράλληλη σύνδεση:

O αντιστάτης και το πηνίο συνδέονται σε σειρά, οπότε . Η συνολική εμπέδηση θα είναι: ή . Το μέτρο του μιγαδικού αριθμού θα μας δώσει την οικεία σχέση για την εμπέδηση του κυκλώματος: . Παρατηρούμε ότι η ολική εμπέδηση του κυκλώματος γίνεται μέγιστη όταν . Από την σχέση αυτή παίρνουμε την συχνότητα (αντι)συντονισμού για την οποία το πλάτος του ρεύματος γίνεται ελάχιστο ή την απαιτούμενη τιμή της χωρητικότητας για αυτόν τον συντονισμό:

(*) άσκηση: Εξηγείστε ποιοτικά γιατί σε ένα κύκλωμα εναλλασσομένου ρεύματος: (α) η επαγωγική αντίσταση του πηνίου είναι ανάλογη του συντελεστή αυτεπαγωγής του, ενώ η χωρητική αντίσταση του πυκνωτή είναι αντιστρόφως ανάλογη της χωρητικότητάς του
και (β) γιατί η επαγωγική αντίσταση του πηνίου είναι ανάλογη της κυκλικής συχνότητας του εναλλασσομένου ρεύματος, ενώ η χωρητική αντίσταση αντιστρόφως ανάλογη του ω.

 

https://physicsgg.me/2022/12/20/%ce%ba%cf%85%ce%ba%ce%bb%cf%8e%ce%bc%ce%b1%cf%84%ce%b1-%ce%ba%ce%b1%ce%b9-%ce%bc%ce%b9%ce%b3%ce%b1%ce%b4%ce%b9%ce%ba%ce%bf%ce%af-%ce%b1%cf%81%ce%b9%ce%b8%ce%bc%ce%bf%ce%af/